Теорема Коши. Теорема Мертенса. Бесконечные произведения

Лекция 5

Теорема 1 (Коши)

Пусть числовые ряды и сходятся абсолютно  Þ ряд состоящий из произведений , занумерованных в произвольном порядке будет сходится абсолютно и его сумма будет равна UV – произведение сумм начальных рядов (из u_k, v_k).

Доказательство

Пусть w_k, k=1… – занумерованные произведения u_iv_j. Пусть KÎN, n_K – максимум из i и j в членах w_k,k=1…K Þ  .

Теорема 2 (Мертенса)

Пусть и числовые ряды, один из которых абсолютно сходится, а другой сходится, и U,V – их суммы Þ , сходится и его сумма равна UV.

Доказательство

Пусть ряд  сходится абсолютно и U_n – его частичные суммы, а ряд  сходится и V_n – его частичные суммы.  . Возьмем e>0 и найдем N:

1) при .

2) .

Þ при   .

Бесконечные произведения

Определение 1

Бесконечное произведение – это произведение бесконечного числа членов (такое определение некорректно).

Пусть , числовая последовательность Þ выражение  – бесконечная числовое произведение.  – частичное произведение.

Определение 2

Если $ конечный ненулевой предел , то бесконечное произведение  сходится и P – его величина.

Если  или , то бесконечное произведение расходится к 0 или к .

Если  не существует, то бесконечное произведение расходится.

Если бесконечное произведение сходится, то  – остаток бесконечного произведения.