Лекция 25
Теорема 1 (Вейерштрасса)
1) Для " комплекснозначной непрерывной функции f на [a,b] и "e>0 $ многочлен P(x) (действительный, если f действительна): .
2) Для " комплекснозначной m раз непрерывно дифференцируемой (в действительном смысле) функции f на [a,b] "e>0 $ многочлен P(x) (действительный, если f действительна): .
Доказательство
При линейных преобразованиях аргумента утверждение сохраняется Þ если мы докажем утверждение для отрезка [0,1], то оно будет верно и для " отрезка (заменой отрезок [a,b] сводится к [0,1]).
1*) Вычитая из f(x) линейную функцию g(x)=f(0)+x(f(1)-f(0)) сведем всё к функции, обращающейся в 0 в концах отрезка – точказ 0 и 1.
2*) Вычитая из f(x) некоторый многочлен можно добиться, что их разность вместе с производными до порядка m включительно будет обращаться в 0 в концах отрезка – точках 0 и 1.
Итак, пусть h(x) непрерывная на [0,1] (непрерывная с производными h(k)(х), k =0…m на [0,1]), h(0) = h(1)=0 (h(k)(0)=h(k)(1)=0, k=0…m). Продолжим h нулем на R\[0,1], это непрерывная на R (с h(k)(x), k=0…m) функция. Пусть Kn(x) – единица из примера 4) Лекции 24: равномерно стремится на R при n®¥ к h(x) (равномерно стремится на R при n®¥ к h(k)(x), k=0…m). – многочлен от х.
Определение 1
Система функций или система – тригонометрическая система. .
Определение 2
Тригонометрический многочлен – это конечная линейная комбинация функций тригонометрической системы, то есть выражение вида .
Теорема 2 (Вейерштрасса)
1) Для " 2p-периодической комплекснозначной непрерывной функции f и "e>0 $ тригонометрический многочлен T(x) ( с действительными коэффициентами an и bn, если f действительна): .
2) Для " 2p-периодической комплекснозначной m раз непрерывно дифференцируемой (в смысле действительных коэффициентов) функции f и "e>0 $ тригонометрический многочлен T(x) (действительный, то есть с действительными an и bn, если f действительна): .
Доказательство
Возьмем Kn(x) из примера 5) Лекции 24. Имеем, что равномерно стремится к f(x) на R при n®¥ (равномерно стремится к f(k)(x) на R при n®¥). – тригонометрический многочлен (из Теоремы 1).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.