Теорема Вейерштрасса для комплекснозначной непрерывной функции

Лекция 25

Теорема 1  (Вейерштрасса)

1) Для " комплекснозначной непрерывной функции f на [a,b] и "e>0 $ многочлен P(x) (действительный, если f действительна): .

2) Для " комплекснозначной m раз непрерывно дифференцируемой (в действительном смысле) функции f на [a,b] "e>0 $ многочлен P(x) (действительный, если f действительна): .

Доказательство

При линейных преобразованиях аргумента утверждение сохраняется Þ если мы докажем утверждение для отрезка [0,1], то оно будет верно и для " отрезка (заменой  отрезок [a,b] сводится к [0,1]).

1*) Вычитая из f(x) линейную функцию g(x)=f(0)+x(f(1)-f(0)) сведем всё к функции, обращающейся в 0 в концах отрезка – точказ 0 и 1.

2*) Вычитая из f(x) некоторый многочлен можно добиться, что их разность вместе с производными до порядка m включительно будет обращаться в 0 в концах отрезка – точках 0 и 1.

Итак, пусть h(x) непрерывная на [0,1] (непрерывная с производными h^(k)(х), k =0…m на [0,1]), h(0) = h(1)=0 (h^(k)(0)=h^(k)(1)=0, k=0…m). Продолжим h нулем на R\[0,1], это непрерывная на R (с h^(k)(x), k=0…m) функция. Пусть K_n(x) – единица из примера 4) Лекции 24:   равномерно стремится на R при n®¥ к h(x) (равномерно стремится на R при n®¥ к h^(k)(x), k=0…m).  – многочлен от х.

Определение 1

Система функций  или система  – тригонометрическая система. .

Определение 2

Тригонометрический многочлен – это конечная линейная комбинация функций тригонометрической системы, то есть выражение вида  .

Теорема 2 (Вейерштрасса)

1) Для " 2p-периодической комплекснозначной непрерывной функции f и "e>0 $ тригонометрический многочлен T(x) ( с действительными коэффициентами a_n и b_n, если f действительна):  .

2) Для " 2p-периодической комплекснозначной m раз непрерывно дифференцируемой (в смысле действительных коэффициентов) функции f и "e>0 $ тригонометрический многочлен T(x) (действительный, то есть с действительными a_n и b_n, если f  действительна): .

Доказательство

Возьмем K_n(x) из примера 5) Лекции 24. Имеем, что  равномерно стремится к f(x) на R при n®¥ (равномерно стремится к f^(k)(x) на R при n®¥).  – тригонометрический многочлен (из Теоремы 1).