Лекция 7
Суммирование рядов и последовательностей
Определение 1 (метод Чезаро суммирования средних арифметических)
1) Пусть последовательность (действительных ил комплексных чисел), . Если $ конечный или равный ±¥ предел Þ последовательность суммируется методом средних арифметических к .
2) Пусть – ряд (действительных или комплексных чисел), . Если последовательность частичных сумм суммируется методом средних арифметических к s – числу или ±¥, то s – сумма ряда в смысле среднего арифметического.
Определение 2
1) Метод суммирования – линейный, если из того, что он суммирует последовательность к числу А следует, что для "a он суммирует последовательность к числу aА, а из того что он суммирует последовательности и к числам А и В следует, что он суммирует последовательность к числу А+В.
2) Метод – регулярный, если " сходящуюся последовательность он суммирует к ее пределу.
3) Метод – вполне регулярный, если он регулярный и " расходящуюся и ±¥ последовательности суммирует к ±¥ соответственно.
Теорема 2
Метод суммирования средних арифметических (Чезаро) линеен и вполне регулярен.
Доказательство
1*) Пусть . Если .
2*) Если .
Пример 1
1) Пусть .
2) Ряд .
Теорема 3
Если последовательность Sn (ряд ) суммируется методом средних арифметических к некоторому числу Þ Sn=o(n) и ak=o(n).
Доказательство
.
.
Определение 2 (метод суммирования Абеля) Пусть дан ряд .
1) Если , ряд сходится и – число Þ ряд суммируется методом Абеля к числу s.
2) Если , ряд сходится или расходится к ±¥ и , то ряд суммируется методом Абеля к ±¥.
3) Последовательность суммируется методом Абеля к числу или ±¥, если ряд, последовательность частичных сумм которого она является, суммируется методом Абеля.
Теорема 4 (Фробениуса)
Если ряд (последовательность) суммируется методом средних арифметических к числу s Þ он (она) суммируется методом Абеля к s.
Доказательство
Заметим, что . Ряды сходятся при |r|<1 по признаку Коши: . Имеем
. Заметим, что . Пусть a1=1, ak=0 при k>n .
Þ ряд суммируется мтодом Абеля к S.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.