Лекция 31
Определение 1
Ряд , или – тригонометрический ряд, если , или – тригонометрический ряд есть ряд Фурье по тригонометрической системе (обозначается как ).
Свойства тригонометрических рядов Фурье (для 2p-периодической f, интегрируемой по Мак-Шейну)
1) (Линейность) .
2) (Инвариантность относительно сдвига) Если .
Доказательство
.
3) (Инвариантность относительно симметрии) Если 2p-периодическая функция Þ .
4) (Инвариантность относительно дифференцирования) Если f 2p-периодическая всюду дифференцируемая функция и f' интегрируемая по Мак-Шейну Þ , где – почленно продифференцированный ряд Фурье .
Доказательство
. Имеем, что , а также , Þ .
5) (Коэффициенты Фурье свертки) Если 2p-периодические
Þ ряд Фурье от .
Доказательство
Если Þ ряд Фурье от (из теоремы о собственном интеграле) .
Имеем, что " функцию интегрируемую по Мак-Шейну можно приблизить непрерывными функциями. Пусть и по норме в L2[-p,p]. (так как ) и . Покажем, что ряд Фурье от к ряду Фурье от . Заметим, что и . Значит, ряд Фурье от к ряду Фурье от Þ .
6) (Равенство Парсеваля-Ляпунова) Если .
7) Если 2p-периодическая функция .
Доказательство
Для отрезка с длиной 2p – очевидно. Рассмотрим случай, когда отрезок меньше 2p. Пусть b-a<2p Þ , где c – 2p-периодическое продолжение c[a,b] . Рассмотрим .
Теорема 1
Если 2p-периодическая f интегрируемая по Мак-Шейну (на [-p,p]) Þ .
Доказательство
Возьмем "e>0 и найдем m: . Аналогично . . Аналогично .
8) Если f интегрируема по Мак-Шейну Þ (то есть , если m не делится на k и , если m делится на k).
Доказательство
1*) Если m не делится на k: , так как не кратно 2p Þ .
2*) Если m делится на k: .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.