Свойства тригонометрических рядов Фурье (для 2p-периодической f, интегрируемой по Мак-Шейну)

Лекция 31

Определение 1

Ряд , или  – тригонометрический ряд, если , или  – тригонометрический ряд есть ряд Фурье по тригонометрической системе (обозначается как ).

Свойства тригонометрических рядов Фурье (для 2p-периодической f, интегрируемой по Мак-Шейну)

1) (Линейность) .

2) (Инвариантность относительно сдвига) Если  .

Доказательство

.

3) (Инвариантность относительно симметрии) Если  2p-периодическая функция Þ .

4) (Инвариантность относительно дифференцирования) Если f 2p-периодическая всюду дифференцируемая функция и f' интегрируемая по Мак-Шейну Þ , где  – почленно продифференцированный ряд Фурье .

Доказательство

. Имеем, что , а также ,  Þ .

5) (Коэффициенты Фурье свертки) Если 2p-периодические

Þ ряд Фурье от .

Доказательство

Если  Þ ряд Фурье от  (из теоремы о собственном интеграле)  .

Имеем, что " функцию интегрируемую по Мак-Шейну можно приблизить непрерывными функциями. Пусть  и  по норме в L²[-p,p].  (так как  ) и . Покажем, что ряд Фурье от  к ряду Фурье от  . Заметим, что    и . Значит, ряд Фурье от  к ряду Фурье от  Þ .

6) (Равенство Парсеваля-Ляпунова) Если  .

7) Если 2p-периодическая функция   .

Доказательство

Для отрезка с длиной 2p – очевидно. Рассмотрим случай, когда отрезок меньше 2p. Пусть b-a<2p Þ  , где c – 2p-периодическое продолжение c_[a,b] . Рассмотрим   .

Теорема 1

Если 2p-периодическая f интегрируемая по Мак-Шейну (на [-p,p]) Þ  .

Доказательство

Возьмем "e>0 и найдем m:  . Аналогично  .   . Аналогично .

8) Если f интегрируема по Мак-Шейну Þ  (то есть , если m не делится на k и , если m делится на k).

Доказательство

1*) Если m не делится на k:  , так как  не кратно 2p Þ .

2*) Если m делится на k:  .