Лекция 11
Свойства равномерной сходимости
Теорема 1 (о перестановке пределов)
Пусть функциональная последовательность сходится равномерно на М, Б – база множеств в М и для предельной функции .
Доказательство
Для выполнение теоремы необходимо и достаточно, чтобы . Из-за равномерной сходимости на М имеем: .
Следствие 1
Пусть функциональная последовательность сходится равномерно на Е к f(x), где ЕÌМ – метрическое пространство, а – предельная точка Е и .
Следствие 2
Пусть функциональная последовательность сходится равномерно на Е к f(x), где ЕÌМ – метрическое пространство, fk(x) непрерывны на Е Þ f(x) непрерывна на Е.
Следствие 3
Пусть К – компакт в метрическом пространстве М, С(К) – множество непрерывных на К функций с нормой – банахово пространство, сходимость в котором эквивалентна равномерной сходимости на К.
Доказательство
Легко проверить свойства нормы. по норме Û , так как . Докажем, что нормированное пространство полное, то есть " последовательность Коши сходится, то есть пусть fk – последовательность Коши в С(К) Þ , то есть выполнен критерий Коши равномерной сходимости на К Þ fk равномерно сходится к f(x)ÎС(К), то есть С(К) по норме в С(К).
Теорема 2
Пусть функциональный ряд сходится равномерно на М, Б – база в М, и для .
Следствие 4
Пусть сходится равномерно на ЕÌМ – метрическое пространство, а – предельная точка Е и .
Следствие 5
Если сходится равномерно на ЕÌМ – метрическое пространство, и все uk(x) непрерывны на Е Þ непрерывен на Е.
Теорема 3
Пусть дана функциональная последовательность на промежутке IÌR, сходится равномерно на I, fk(х) сходятся в некоторой точке сходятся равномерно на " ограниченном промежутке JÌI к f(x), f(x) дифференцируема на I и .
Доказательство
1*) Докажем, что fk(х) сходятся равномерно на ограниченном промежутке JÌI. Þ выполнен критерий равномерной сходимости на J Þ fk(х) равномерно сходятся на " ограниченном промежутке J.
2*) Пусть х0 – некоторая точка I, рассмотрим
для . Функциональная последовательность сходится равномерно при . . По Следствию 1 получаем, что .
Теорема 4
Пусть дан функциональный ряд на промежутке IÌR. Ряд сходится равномерно на I, ряд сходится в некоторой точке х0ÎЕ Þ ряд сходится равномернона " ограниченном промежутке JÌI к его сумме S(x), S(x) дифференцируема на I и .
Теорема 5 (об интегрируемости)
Пусть fk(x) равномерно сходится к f(x) на [a,b] и все fk(x) интегрируемы на [a,b] по Риману (Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку) Þ f(x) интегрируема на [a,b] в том же смысле и .
Доказательство
Перейдем к интегральным суммам равномерно сходится к
на (так как
).
Теорема 6
Пусть функциональный ряд сходится равномерно на [a,b] к S(x), все uk(x) интегрируемы (в одном из 3 смыслов) на [a,b] Þ S(x) интегрируема на [a,b] (в том же смысле) и .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.