Свойства равномерной сходимости. Теорема о перестановке пределов

Лекция 11

Свойства равномерной сходимости

Теорема 1 (о перестановке пределов)

Пусть функциональная последовательность  сходится равномерно на М, Б – база множеств в М и   для предельной функции .

Доказательство

Для выполнение теоремы необходимо и достаточно, чтобы  . Из-за равномерной сходимости на М имеем: .

Следствие 1

Пусть функциональная последовательность  сходится равномерно на Е к f(x), где ЕÌМ – метрическое пространство, а – предельная точка Е и .

Следствие 2

Пусть функциональная последовательность  сходится равномерно на Е к f(x), где ЕÌМ – метрическое пространство, f_k(x) непрерывны на Е Þ f(x) непрерывна на Е.

Следствие 3

Пусть К – компакт в метрическом пространстве М, С(К) – множество непрерывных на К функций с нормой  – банахово пространство, сходимость в котором эквивалентна равномерной сходимости на К.

Доказательство

Легко проверить свойства нормы.  по норме Û , так как . Докажем, что нормированное пространство полное, то есть " последовательность Коши сходится, то есть пусть f_k – последовательность Коши в С(К) Þ   , то есть выполнен критерий Коши равномерной сходимости на К Þ f_k равномерно сходится к f(x)ÎС(К), то есть  С(К) по норме в С(К).

Теорема 2

Пусть функциональный ряд  сходится равномерно на М, Б – база в М, и для .

Следствие 4

Пусть  сходится равномерно на ЕÌМ – метрическое пространство, а – предельная точка Е и  .

Следствие 5

Если  сходится равномерно на ЕÌМ – метрическое пространство, и все u_k(x) непрерывны на Е Þ  непрерывен на Е.

Теорема 3

Пусть дана функциональная последовательность  на промежутке IÌR,  сходится равномерно на I, f_k(х) сходятся в некоторой точке  сходятся равномерно на " ограниченном промежутке JÌI к f(x), f(x) дифференцируема на I и .

Доказательство

1*) Докажем, что f_k(х) сходятся равномерно на ограниченном промежутке JÌI.      Þ выполнен критерий равномерной сходимости на J Þ f_k(х) равномерно сходятся на " ограниченном промежутке J.

2*) Пусть х₀ – некоторая точка I, рассмотрим

для . Функциональная последовательность  сходится равномерно при  . . По Следствию 1 получаем, что .

Теорема 4

Пусть дан функциональный ряд  на промежутке IÌR. Ряд  сходится равномерно на I, ряд  сходится в некоторой точке х₀ÎЕ Þ  ряд  сходится равномернона " ограниченном промежутке JÌI  к его сумме S(x), S(x) дифференцируема на I и .

Теорема 5 (об интегрируемости)

Пусть f_k(x) равномерно сходится к f(x) на [a,b] и все f_k(x) интегрируемы на [a,b] по Риману (Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку) Þ f(x) интегрируема на [a,b] в том же смысле и .

Доказательство

Перейдем к интегральным суммам  равномерно сходится к

 на  (так как

).

Теорема 6

Пусть функциональный ряд  сходится равномерно на [a,b] к S(x), все u_k(x) интегрируемы (в одном из 3 смыслов) на [a,b] Þ S(x) интегрируема на [a,b] (в том же смысле) и .