Лекция 24
Определение 2
Свертка определенных на R функций u(x) и v(x) – это определенная в тех точках х, где интеграл существует.
Свертка Т-периодических определенных на R (или на (0,T)) функций u(x) и v(x) – это определенная в тех точках х, где интеграл существует.
Теорема 1
Пусть u и v определенные на R и интегрируемые по Риману на " отрезке из R Þ свертка u*v $ в " точках xÎR, при выполнении одного из условий:
1) |u|2 и |v|2 интегрируемы (в несобственном смысле) на R.
2) одна из функций абсолютно интегрируема на R, а другая ограничена.
3) одна из функций финитна, то есть равна 0 вне некоторого отрезка.
Доказательство
1*) u(t)v(x-t) абсолютно интегрируема на R, так как .
2*) .
Свойства свертки
1) (Симметричность) В " точке х u*v(x) и v*u(x) одновременно существуют или несуществуют, а если $, то и равны.
Доказательство
. Докажем следующую лемму:
Лемма 1
Если f Т-периодическая интегрируемая на некотором отрезке Т функция Þ f интегрируема на " отрезке с длиной Т и все интегралы от f по таким отрезкам одинаковы.
Доказательство
Пусть . Докажем, что . Найдем nÎZ: . Из-за Т-периодичности: .
Для 1*) имеем: (так как функция Т-периодическая).
2) (Инвариантность относительно сдвига) Пусть .
Доказательство
.
3) (О дифференцируемости) Дифференцирование свертки происходит по правилам собственных и несобственных интегралов с параметром.
Определение 2
Аппроксимативная единица (или d-образ последовательности) – это последовательность функций Kn(x) на R (на [0,T]) со свойствами:
1) .
2) .
3) .
Теорема 1 (об аппроксимативной единице)
Пусть Kn(x) – аппроксимативная единица (интегрируемая по Риману) Þ если функция f определена на R (на [0,T]) и непрерывна почти всюду, то:
1) В " точке х непрерывности f: .
2) Если f равномерно непрерывна на R ( на [0,T])Þ равномерно стремится к f(x) на R.
3) Если Kn(x) непрерывна, а f m раз дифференцируема на R и все ее производные до m порядка включительно ограничены и непрерывны (равномерно непрерывны на R) Þ .
Доказательство
1*) Рассмотрим для ;
– равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х; – равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х.
2*) Два последних члена равномерно стремятся к 0. Для первого члена: для " точки х: , то есть Þ что и требовалось доказать.
В периодическом случае: . для ; – равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х; – равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х. Аналогично для равномерной непрерывности.
3*)
– сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса, так как и так далее. В итоге имеем: .
Пример 1 (аппроксимативной единицы)
1) – аппроксимативная единица на R. Продолжение Т-периодически на R – аппроксимативная единица в Т-периодическом случае.
2) – аппроксимативная единица на R. Продолжение с Т-периодически на R – аппроксимативная единица в Т-периодическом случае.
3) Если j(x) абсолютно интегрируема на R и , а Þ – аппроксимативная единица.
4) – аппроксимативная единица на R.
.
Пусть .
5) на R – аппроксимативная единица в 2p-периодическом случае.
.
Пусть
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.