Свертка определенных на R функций u(x) и v(x). Свертка Т-периодических определенных

Лекция 24

Определение 2

Свертка определенных на R функций u(x) и v(x) – это  определенная в тех точках х, где интеграл существует.

Свертка Т-периодических определенных на R (или на (0,T)) функций u(x) и v(x) – это  определенная в тех точках х, где интеграл существует.

Теорема 1

Пусть u и v определенные на R и интегрируемые по Риману на " отрезке из R Þ свертка u*v $ в " точках xÎR, при выполнении одного из условий:

1) |u|² и |v|² интегрируемы (в несобственном смысле) на R.

2) одна из функций абсолютно интегрируема на R, а другая ограничена.

3) одна из функций финитна, то есть равна 0 вне некоторого отрезка.

Доказательство

1*) u(t)v(x-t) абсолютно интегрируема на R, так как   .

2*) .

Свойства свертки

1) (Симметричность) В " точке х u*v(x) и v*u(x) одновременно существуют или несуществуют, а если $, то и равны.

Доказательство

. Докажем следующую лемму:

Лемма 1

Если f Т-периодическая интегрируемая на некотором отрезке Т функция Þ f интегрируема на " отрезке с длиной Т и все интегралы от f по таким отрезкам одинаковы.

Доказательство

Пусть . Докажем, что . Найдем nÎZ:  . Из-за Т-периодичности:   .

Для 1*) имеем:   (так как функция Т-периодическая).

2) (Инвариантность относительно сдвига) Пусть  .

Доказательство

.

3) (О дифференцируемости) Дифференцирование свертки происходит по правилам собственных и несобственных интегралов с параметром.

Определение 2

Аппроксимативная единица (или d-образ последовательности) – это последовательность функций K_n(x) на R (на [0,T]) со свойствами:

1) .

2) .

3) .

Теорема 1 (об аппроксимативной единице)

Пусть K_n(x) – аппроксимативная единица (интегрируемая по Риману) Þ если функция f определена на R (на [0,T]) и непрерывна почти всюду, то:

1) В " точке х непрерывности f: .

2) Если f равномерно непрерывна на R ( на [0,T])Þ  равномерно стремится к f(x) на R.

3) Если K_n(x) непрерывна, а f m раз дифференцируема на R и все ее производные до m порядка включительно ограничены и непрерывны (равномерно непрерывны на R) Þ  .

Доказательство

1*) Рассмотрим   для  ;

– равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х;   – равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х.

2*)  Два последних члена равномерно стремятся к 0. Для первого члена: для " точки х: , то есть  Þ что и требовалось доказать.

В периодическом случае:   .  для      ;   – равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х;   – равномерно стремится к 0 при n®¥ по Х. Аналогично для равномерной непрерывности.

3*)

 – сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса, так как   и так далее. В итоге имеем: .

Пример 1 (аппроксимативной единицы)

1)  – аппроксимативная единица на R. Продолжение Т-периодически на R – аппроксимативная единица в Т-периодическом случае.

2)  – аппроксимативная единица на R. Продолжение с  Т-периодически на R – аппроксимативная единица в Т-периодическом случае.

3) Если j(x) абсолютно интегрируема на R и , а  Þ  – аппроксимативная единица.

4)  – аппроксимативная единица на R.

.

Пусть  .

5)  на R – аппроксимативная единица в 2p-периодическом случае.

  .

Пусть