Лекция 32
Определение 1
.
, где – ядро Дирихле. – ядро Дирихле.
Теорема 1 (признак Дини)
Если 2p-периодическая f интегрируемая по Мак-Шейну и в точке х для некоторого .
Доказательство
. при .
Следствие 1
Если f 2p-периодическая, интегрируема по Мак-Шейну и дифференцирована в точке х Þ (так как .
Следствие 2 (Принцип локализации Римана)
Если f и g 2p-периодические, интегрируемые по Мак-Шейну функции и в некоторой d-окрестности точки х f(t)=g(t) Þ ряд Фурье s[f](x) и s[g](x) одновременно сходятся или расходятся, и если сходятся, то к одному выражению.
Доказательство
Þ сходится по признаку Дини в точке х к 0.
Теорема 2 (Признак Дирихле-Жордана)
Если f 2p-периодическая функция ограниченной вариации (на [-p,p], то есть на периоде) Þ в " точке х , а если f ещё и непрерывна Þ равномерно стремится к f(x) на R при N®¥.
Доказательство
при " фиксированном m, то есть при " фиксированном m. Þ
имеем , так как и Þ Þ имеем сходимость. Оценка 2-ого интеграла зависит только от константы.
Метод суммирования (Чезаро-Фейера)
.
Ядро Фейера .
Ядро Фейера – среднее арифметическое ядер Дирихле. Это ядро образует аппроксимативную единицу – . Свойства 1), 2) – очевидны. Докажем свойство 3):
Теорема 3
Если 2p-периодическая f интегрируема по Риману Þ в " точке непрерывности f средние-арифметические ряда Фурье , а если f непрерывна на R Þ равномерно стремятся к f(x) при N®¥.
Теорема 4
Если 2p-периодическая f интегрируема по Риману Þ в " точке непрерывности f средние Абеля (Абеля-Пуассона) .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.