Пространство последовательностей действительных или комплексных чисел. Гильбертово пространство

Лекция 26

1) l² (или l₂) – пространство последовательностей действительных или комплексных чисел с покоординатным сложением и умножением на действительные или, соответственно, комплексные числа. Сумма квадратов модулей членов последовательностей сходится, то есть .

Имеем, что .

 Þ если  то .

Так как  Þ ряд  сходится абсолютно, если .   , где .

Теорема 1

l² – гильбертово пространство.

Доказательство

Пусть  – последовательность Коши элементов из l², то есть . При фиксированном k имеем неравенство: – последовательность Коши Þ . Покажем, что  – предел последовательности  при n®¥ по метрике пространства l² и  .

Фиксируем n>N и устремим K к ¥. Имеем:  .

Причем  Þ ч.т.д.

2) Пространство непрерывных на [a,b]  (действительно- или комплекснозначных), где  и .

3) Пространство интегрируемых по Риману функций на [a,b] (действительно- или комплекснозначных), где , причем , если  почти всюду на [a,b].

Теорема 2

Пространства в 2) и 3) – неполные пространства.

Доказательство

Рассмотрим функцию  линейна на

Если  Þ  на  при  все .

Если бы существовала  (предельная функция (по норме)) Þ  (так как нет зависимости при ) Þ  почти всюду на , то есть почти всюду на [a,b] Þ что и требовалось доказать.

4) Пространство интегрируемых по Мак-Шейну (Курцвейлю-Хенстоку) функций, квадрат модуля которых также интегрируем в том же смысле (комплексном или действительном) на [a,b], где  при этом , если  почти всюду на [a,b]. Обозначается .

Лемма 1

Пусть f_n(x) – последовательность интегрируемых по Мак-Шейну (по Курцвейлю-Хенстоку) функций на [a,b],   и  Þ f(x) интегрируемая по Мак-Шейну (по Курцвейлю-Хенстоку) функция на [a,b] и .

Доказательство

Возьмем  с (xÎ)

Положим  на [a,b]. Пусть (T,x) – разбиение с (xÎ)  . Имеем, что  ; . А также, .

Заметим, что .