Признак Дини. Принцип локализации Римана. Признак Дирихле-Жордана

Лекция 32

Определение 1

. 

, где  – ядро Дирихле.   – ядро Дирихле.

Теорема 1 (признак Дини)

Если 2p-периодическая f интегрируемая по Мак-Шейну и в точке х для некоторого .

Доказательство

 .        при .

Следствие 1

Если f 2p-периодическая, интегрируема по Мак-Шейну и дифференцирована в точке х Þ  (так как  .

Следствие 2 (Принцип локализации Римана)

Если f и g 2p-периодические, интегрируемые по Мак-Шейну функции и в некоторой d-окрестности точки х f(t)=g(t) Þ ряд Фурье s[f](x) и s[g](x) одновременно сходятся или расходятся, и если сходятся, то к одному выражению.

Доказательство

 Þ сходится по признаку Дини в точке х к 0.

Теорема 2 (Признак Дирихле-Жордана)

Если f 2p-периодическая функция ограниченной вариации (на [-p,p], то есть на периоде) Þ в " точке х , а если f ещё и непрерывна Þ  равномерно стремится к f(x) на R при N®¥.

Доказательство

  при " фиксированном m, то есть  при " фиксированном m.   Þ

имеем  , так как  и  Þ   Þ имеем сходимость. Оценка 2-ого интеграла зависит только от константы.

Метод суммирования (Чезаро-Фейера)

.

Ядро Фейера  .

Ядро Фейера  – среднее арифметическое ядер Дирихле. Это ядро образует аппроксимативную единицу – . Свойства 1), 2) – очевидны. Докажем  свойство 3):

Теорема 3

Если 2p-периодическая f интегрируема по Риману Þ в " точке непрерывности f средние-арифметические ряда Фурье , а если f непрерывна на R Þ  равномерно стремятся к f(x) при N®¥.

Теорема 4

Если 2p-периодическая f интегрируема по Риману Þ в " точке непрерывности f средние Абеля (Абеля-Пуассона) .