Лекция 4
Определение 1
Последовательность vn имет ограниченную вариацию (ограниченное изменение), если сходится ряд .
Последовательность ограниченной вариации образует линейное пространство над С.
Теорема 1
Последовательность комплексных чисел имеет ограниченную вариацию Û ее действительная и мнимая части имеют ограниченную вариацию.
Последовательность действительных чисел имеет ограниченную вариацию Û она есть разность двух неубывающих (невозрастающих) сходящихся последовательностей.
Доказательство
Пусть Имеем , .
Пусть vn неубывающая сходящаяся последовательность Þ.
Пусть vn последовательность ограниченной вариации Þ – неубывающая последовательность имеющая предел. – неубывающая последовательность, имеющая предел vn= =Sn-(Sn-vn).
Теорема 2
Последовательность ограниченной вариации сходится и ряд, последовательность частичных сумм которого сходится, есть сходящийся абсолютно.
Доказательство
.
Преобразование Абеля
Теорема 3
Пусть uk, vk, k=1…n –комплексные числа Þ .
Доказательство
.
+Unvn-Um-1vm-1.
Признаки сходимости для знакопеременных рядов.
2. (Признак Абеля) Если ряд сходится, а vk – последовательность ограниченной вариации, то ряд сходится.
3. (Признак Дирихле) Если последовательность частичных сумм ряда ограничена, а vk – сходящаяся к 0 последовательность ограниченной вариации, то ряд сходится.
Доказательство
В обеих теоремах Uk – ограниченная последовательность, а vk – последовательность ограниченной вариации.
, ряд сходится. .
Для признака Абеля Uk – сходящаяся последовательность, vk – то же.
Для признака Дирихле Uk – ограниченная последовательность, vk=o(1).
В обоих случаях Ukvk – сходящаяся последовательность.
.
Следствие 1
Признак Лейбница, за исключением оценки остаточного члена, есть частный случай признака Дирихле.
Замечание
Признаки Абеля и Дирихле верны в банаховых пространствах.
Определение 2
Пусть j – взаимно однозначное отображение N на N, а – ряд. Тогда – перестановка ряда .
Теорема 4 (Коши)
Если ряд сходится абсолютно, то " его перестановка также сходится абсолютно и сумма переставленного ряда совпадает с суммой начального ряда.
Доказательство
.
.
Теорема 5 (Римана)
Если ряд сходится условно Þ $ перестановка j: .
Доказательство
Так как ряд сходится, то . Пусть uk, kÎN, последовательно занумерованные неотрицательные члены ряда . Пусть vk, kÎN, последовательно занумерованные строго отрицательные члены ряда ak<0. (обе суммы конечными быть не могут, так как тогда ряд сходится абсолютно; если одна из сумм бесконечна, а другая конечна Þ ряд стремится к ¥ при n®¥ Þ ). Пусть
Имеем .
и .
Так как .
Если .
Если .
Пусть
Имеем .
Если при имеем .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.