Последовательность комплексных чисел. Последовательность ограниченной вариации

Страницы работы

Содержание работы

Лекция 4

Определение 1

Последовательность vn имет ограниченную вариацию (ограниченное изменение), если сходится ряд .

Последовательность ограниченной вариации образует линейное пространство над С.

Теорема 1

Последовательность комплексных чисел имеет ограниченную вариацию Û ее действительная и мнимая части имеют ограниченную вариацию.

Последовательность действительных чисел имеет ограниченную вариацию Û она есть разность двух неубывающих (невозрастающих) сходящихся последовательностей.

Доказательство

Пусть  Имеем , .

Пусть vn неубывающая сходящаяся последовательность Þ.

Пусть vn последовательность ограниченной вариации Þ – неубывающая последовательность имеющая предел.   – неубывающая последовательность, имеющая предел vn= =Sn-(Sn-vn).

Теорема 2

Последовательность ограниченной вариации сходится и ряд, последовательность частичных сумм которого сходится, есть сходящийся абсолютно.

Доказательство

.

Преобразование Абеля

Теорема 3

Пусть uk, vk, k=1…n –комплексные числа Þ .

Доказательство

.

 +Unvn-Um-1vm-1.


Признаки сходимости для знакопеременных рядов.

2. (Признак Абеля) Если ряд  сходится, а vk – последовательность ограниченной вариации, то ряд  сходится.

3. (Признак Дирихле) Если последовательность частичных сумм ряда  ограничена, а vk – сходящаяся к 0 последовательность ограниченной вариации, то ряд  сходится.

Доказательство

В обеих теоремах Uk – ограниченная последовательность, а vk – последовательность ограниченной вариации.

, ряд  сходится. .

Для признака Абеля Uk – сходящаяся последовательность, vk – то же.

Для признака Дирихле Uk – ограниченная последовательность, vk=o(1).

В обоих случаях Ukvk – сходящаяся  последовательность.

 .

Следствие 1

Признак Лейбница, за исключением оценки остаточного члена, есть частный случай признака Дирихле.

Замечание

Признаки Абеля и Дирихле верны в банаховых пространствах.

Определение 2

Пусть j – взаимно однозначное отображение N на N, а  – ряд. Тогда  – перестановка ряда .

Теорема 4 (Коши)

Если ряд сходится абсолютно, то " его перестановка также сходится абсолютно и сумма переставленного ряда совпадает с суммой начального ряда.

Доказательство

.

.

Теорема 5 (Римана)

Если ряд  сходится условно Þ  $ перестановка j: .

Доказательство

Так как ряд сходится, то . Пусть  uk, kÎN, последовательно занумерованные неотрицательные члены ряда . Пусть vk, kÎN, последовательно занумерованные строго отрицательные члены ряда ak<0.  (обе суммы конечными быть не могут, так как тогда ряд сходится абсолютно; если одна из сумм бесконечна, а другая конечна Þ  ряд стремится к ¥ при n®¥ Þ ). Пусть  

Имеем .

 и .

Так как .

Если .

Если .

Пусть

Имеем .

Если  при  имеем .

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
127 Kb
Скачали:
0