Последовательность комплексных чисел. Последовательность ограниченной вариации

Лекция 4

Определение 1

Последовательность v_n имет ограниченную вариацию (ограниченное изменение), если сходится ряд .

Последовательность ограниченной вариации образует линейное пространство над С.

Теорема 1

Последовательность комплексных чисел имеет ограниченную вариацию Û ее действительная и мнимая части имеют ограниченную вариацию.

Последовательность действительных чисел имеет ограниченную вариацию Û она есть разность двух неубывающих (невозрастающих) сходящихся последовательностей.

Доказательство

Пусть  Имеем , .

Пусть v_n неубывающая сходящаяся последовательность Þ.

Пусть v_n последовательность ограниченной вариации Þ – неубывающая последовательность имеющая предел.   – неубывающая последовательность, имеющая предел v_n= =S_n-(S_n-v_n).

Теорема 2

Последовательность ограниченной вариации сходится и ряд, последовательность частичных сумм которого сходится, есть сходящийся абсолютно.

Доказательство

.

Преобразование Абеля

Теорема 3

Пусть u_k, v_k, k=1…n –комплексные числа Þ .

Доказательство

.

 +U_nv_n-U_m-1v_m-1.

Признаки сходимости для знакопеременных рядов.

2. (Признак Абеля) Если ряд  сходится, а v_k – последовательность ограниченной вариации, то ряд  сходится.

3. (Признак Дирихле) Если последовательность частичных сумм ряда  ограничена, а v_k – сходящаяся к 0 последовательность ограниченной вариации, то ряд  сходится.

Доказательство

В обеих теоремах U_k – ограниченная последовательность, а v_k – последовательность ограниченной вариации.

, ряд  сходится. .

Для признака Абеля U_k – сходящаяся последовательность, v_k – то же.

Для признака Дирихле U_k – ограниченная последовательность, v_k=o(1).

В обоих случаях U_kv_k – сходящаяся  последовательность.

 .

Следствие 1

Признак Лейбница, за исключением оценки остаточного члена, есть частный случай признака Дирихле.

Замечание

Признаки Абеля и Дирихле верны в банаховых пространствах.

Определение 2

Пусть j – взаимно однозначное отображение N на N, а  – ряд. Тогда  – перестановка ряда .

Теорема 4 (Коши)

Если ряд сходится абсолютно, то " его перестановка также сходится абсолютно и сумма переставленного ряда совпадает с суммой начального ряда.

Доказательство

.

.

Теорема 5 (Римана)

Если ряд  сходится условно Þ  $ перестановка j: .

Доказательство

Так как ряд сходится, то . Пусть  u_k, kÎN, последовательно занумерованные неотрицательные члены ряда . Пусть v_k, kÎN, последовательно занумерованные строго отрицательные члены ряда a_k<0.  (обе суммы конечными быть не могут, так как тогда ряд сходится абсолютно; если одна из сумм бесконечна, а другая конечна Þ  ряд стремится к ¥ при n®¥ Þ ). Пусть  

Имеем .

 и .

Так как .

Если .

Если .

Пусть

Имеем .

Если  при  имеем .