Лекция 10
Определение 1 (критерий Коши равномерной сходимости)
Последовательность удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на множестве Е, если вcе fk(x) определены на Е и .
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости)
Функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Е Û она удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на Е.
Доказательство
1*) Докажем необходимость. Пусть fk(x) равномерно сходятся к f(x) на Е .
2*) Докажем достаточность. Из условия Коши равномерной сходимости следует, что в " точке хÎЕ числовая последовательность является последовательностью Коши Þ $ предел. Обозначим его f(x). . Перейдем к пределу при n®¥ и получим, что Þ fn(x) равномерно сходятся к f(x) на Е.
Определение 2 (критерий Коши равномерной сходимости)
Ряд удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на Е, если все uk(x) определены на Е и , или .
Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Функциональный ряд сходится равномерно на множестве Е Û он удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на Е
Признаки равномерной сходимости
1) (Вейерштрасса) Пусть функциональный ряд определен на Е и на Е , ak – элементы сходящегося числового ряда Þ функциональный ряд сходится равномерно на Е.
Доказательство
.
2) (Дини) Пусть функциональная последовательность определена на компакте К (в некотором метрическом пространстве) и сходится на К поточечно к f(x), где fk(x) и f(x), kÎN, непрерывные функции н К. Если невозрастает и стремится к 0 в " точке К Þ fk(x) равномерно сходятся к f(x) на К.
Доказательство
Возьмем "e>0 и пусть {xÎM – метрическое пространство: xÏK или xÎК и – открытое множество в М. . Выдели конечное подпокрытие и возьмем в нем с наибольшим номером, это Þ fk(x) равномерно сходятся к f(x) на К.
3) (Лейбница) Пусть дан функциональный ряд на множестве Е, все члены которого действительнозначны, в " точке хÎЕ образующий знакочередующуюся последовательность невозрастающую по модулю и равномерно стремящуюся к 0 на Е Þ этот функциональный ряд сходится равномерно на Е.
Доказательство
равномерно сходится к 0 на Е. .
Замечание
Отметим, что необходимым условием равномерной сходимости функционального ряда на некотором множестве является равномерное стремление его членов к 0.
4) (Абеля) Пусть функциональный ряд сходится равномерно на Е, а vk(x), kÎN, – функциональная последовательность на Е: v1(x) и равномерно ограничены на Е (то есть во всех точках Е) Þ функциональный ряд сходится равномерно на Е.
5) (Дирихле) Пусть функциональный ряд на Е, частичные суммы которого Sn(x) равномерно (по xÎЕ и nÎN) ограничены на Е (то есть ), а функциональная последовательность vk(x), kÎN: vk(x) равномерно сходится к 0 на Е и ряд равномерно сходится на Е Þ функциональный ряд сходится равномерно на Е.
Доказательство
.
1*) Для признака Абеля. , где . .
2*) Для признака Дирихле.
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.