Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки равномерной сходимости

Лекция 10

Определение 1 (критерий Коши равномерной сходимости)

Последовательность  удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на множестве Е, если вcе f_k(x) определены на Е и .

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости)

Функциональная последовательность  сходится равномерно на множестве Е Û она удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на Е.

Доказательство

1*) Докажем необходимость. Пусть f_k(x) равномерно сходятся к f(x) на Е  .

2*) Докажем достаточность. Из условия Коши равномерной сходимости следует, что в " точке хÎЕ числовая последовательность  является последовательностью Коши Þ $ предел. Обозначим его f(x).  . Перейдем к пределу при n®¥ и получим, что  Þ f_n(x) равномерно сходятся к f(x) на Е.

Определение 2 (критерий Коши равномерной сходимости)

Ряд  удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на Е, если все u_k(x) определены на Е и  , или .

Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Функциональный ряд  сходится равномерно на множестве Е Û он удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на Е

Признаки равномерной сходимости

1) (Вейерштрасса) Пусть функциональный ряд  определен на Е и на Е , a_k – элементы сходящегося числового ряда  Þ функциональный ряд  сходится равномерно на Е.

Доказательство

.

2) (Дини) Пусть функциональная последовательность  определена на компакте К (в некотором метрическом пространстве) и сходится на К поточечно к f(x), где f_k(x) и f(x), kÎN, непрерывные функции н К. Если  невозрастает и стремится к 0 в " точке К Þ f_k(x) равномерно сходятся к f(x) на К.

Доказательство

Возьмем "e>0 и пусть {xÎM – метрическое пространство: xÏK или xÎК и  – открытое множество в М.  . Выдели конечное подпокрытие и возьмем в нем  с наибольшим номером, это  Þ f_k(x) равномерно сходятся к f(x) на К.

3) (Лейбница) Пусть дан функциональный ряд  на множестве Е, все члены которого действительнозначны, в " точке хÎЕ образующий знакочередующуюся последовательность невозрастающую по модулю и равномерно стремящуюся к 0 на Е Þ этот функциональный ряд сходится равномерно на Е.

Доказательство

 равномерно сходится к 0 на Е. .

Замечание

Отметим, что необходимым условием равномерной сходимости функционального ряда на некотором множестве является равномерное стремление его членов к 0.

4) (Абеля) Пусть функциональный ряд   сходится равномерно на Е, а v_k(x), kÎN, – функциональная последовательность на Е: v₁(x) и  равномерно ограничены на Е (то есть  во всех точках Е) Þ функциональный ряд  сходится равномерно на Е.

5) (Дирихле) Пусть  функциональный ряд на Е, частичные суммы которого S_n(x) равномерно (по xÎЕ и nÎN) ограничены на Е (то есть  ), а функциональная последовательность v_k(x), kÎN: v_k(x) равномерно сходится к 0 на Е и ряд  равномерно сходится на Е Þ функциональный ряд  сходится равномерно на Е.

Доказательство

.

1*) Для признака Абеля.  , где .  .

2*) Для признака Дирихле.  

  .