Некоторые дифференциальные модели турбулентности

	Q

       Г л а в а   7

       НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ

       ТУРБУЛЕНТНОСТИ

	Б

 

         урное развитие  вычислительной  техники во второй поло-

         вине ХХ столетия позволило проводить численное моделирование течений жидкости и газа. Однако если в случае ламинарных течений проблема заключается только в построении численного метода для решения уравнений в частных производных, то для турбулентного режима течения необходимо привлекать дополнительные физические гипотезы.

Как отмечалось в главе 3, в основных дифференциальных уравнениях осредненного турбулентного движения присутствуют неизвестные турбулентные напряжения , представляющие собой кор-реляционные моменты второго порядка пульсаций скорости . Аналогичные члены присутствуют и в уравнениях  переноса теплоты () и вещества () в турбулентном потоке.

В результате появления таких членов уравнения для средних характеристик течения становятся незамкнутыми и необходимо ввести модель турбулентности, определяющую члены турбулентного переноса, а потом уже приступить к решению этих уравнений.

Замкнуть систему уравнений осредненного турбулентного течения можно несколькими способами. Один из них заключается в установлении связи между членами турбулентного переноса и осредненными параметрами потока. Этот метод  подразумевает, что турбулентный перенос прямо пропорционален градиенту осредненного  параметра. Такая гипотеза для турбулентного напряжения трения была первоначально высказана Буссинеском, предложившим определять турбулентное трение выражением

                               .

Здесь  – коэффициент турбулентной вязкости, который в отличие от коэффициента молекулярной вязкости не является физической константой жидкости, а зависит от распределения скорости.

В этой гипотезе применяется концепция турбулентной вязкости (диффузии), которая постулирует связь между членами турбулентного переноса и градиентами осредненных характеристик течения.

Турбулентная вязкость  согласно гипотезе Прандтля о длине перемешивания связана с локальным градиентом скорости

.

Это соотношение соответствует тонким сдвиговым слоям, содержит один неизвестный параметр – длину пути перемешивания , распределение которой должно быть задано с помощью эмпирической информации.

Используя градиенты осредненных температуры и концентрации, аналогичным образом записываем связь для переноса теплоты и вещества. Эти связи обычно имеют чисто эмпирический характер. Поэтому теории турбулентности, использующие этот принцип, называют полуэмпирическими, а соответствующие модели – градиентными моделями турбулентности первого приближения.

В число градиентных моделей турбулентности первого приближения входят рассмотренные в разделе 3.3 модели Буссинеска, Прандтля. К ним же относят модели Кармана, Тейлора, Рейхардта.

Во всех моделях турбулентности первого приближения, по существу, заложена идея линейной зависимости вторых моментов от градиентов осредненных скорости, температуры, концентрации. Очевидно, что пределы применимости этих моделей ограничены. Они широко используются для расчета сравнительно простых течений с тонкими сдвиговыми слоями и позволяют получить информацию лишь об осредненных характеристиках течения. Градиентные модели турбулентности в основном правильно отражают наиболее важные особенности осредненных параметров турбулентных течений в пограничных слоях, трубах, каналах, струях и следах. Они широко использовались при решении авиационно-космических задач.

Однако всесторонняя проверка выявила ограниченность гипотезы о длине перемешивания, в частности отсутствие универсальности по отношению к начальной эмпирической информации. Одним из главных недостатков этой гипотезы является то, что она исходит из предположения о локальном равновесии турбулентности, согласно которому в каждой точке течения скорость диссипации энергии турбулентности совпадает со скоростью ее генерации, так что влияние генерации турбулентности в других точках течения или в более ранние моменты времени оказывается невозможным. Следовательно, гипотеза о длине перемешивания не может учитывать влияние переноса турбулентности или предыстории ее развития. В результате этого согласно гипотезе о длине перемешивания турбулентная вязкость и диффузия обращаются в нуль (), как только градиент скорости становится равным нулю . Это значит, например, что  на оси трубы, в области перемешивания пристенной струи с основным потоком и в ряде других случаев. Измерения показывают, что это далеко не так.