Некоторые дифференциальные модели турбулентности, страница 2

Другой недостаток указанных моделей заключается в том, что они не могут учитывать сил плавучести, вращения или кривизны линий тока, поскольку трудно сконструировать общеприменимые эмпирические соотношения, описывающие эти влияния. Несмотря на то что имеется большой опыт по распределению длины перемешивания  для простых сдвиговых слоев, при определении  в случаях, когда взаимодействуют несколько сдвиговых слоев, возникают значительные трудности. Поэтому рассматриваемые модели турбулентности применимы для течений с тонкими сдвиговыми слоями, для которых длина перемешивания может быть определена. В случае течений более сложных, чем сдвиговые слои, таких, например, как отрывные или полностью трехмерные течения, задача эмпирического определения  становится трудной и иногда даже неразрешимой.

Для решения более широкого круга задач предложены модели турбулентности, учитывающие эффекты переноса турбулентности и предысторию ее развития. При этом замыкание осредненных уравнений течения выполняется введением дополнительных дифференциальных уравнений для переноса локальных характеристик турбулентности:  кинетической энергии турбулентности к, диссипации турбулентной энергии , турбулентного трения , турбулентной вязкости , масштаба турбулентности  и др. Число таких уравнений может меняться от 1 для простейших моделей до 12 и более для наиболее сложных моделей турбулентности. Эти модели получили название моделей турбулентности  второго приближения или дифференциальных параметрических моделей. Уравнения для различных характеристик турбулентности могут быть получены непосредственно из уравнений Навье – Стокса при их осреднении.

Простейшие модели, учитывающие эффекты переноса и пред-ыстории развития турбулентности, используют уравнение переноса подходящего масштаба скорости турбулентного движения. Обычно за такой масштаб принимают , где к – кинетическая энергия турбулентности, которая является мерой турбулентных пульсаций по всем трем направлениям.

Одна из первых таких моделей была предложена Колмогоровым (1940 г.). В большинстве моделей используется следующее уравнение переноса  к:

  +              .          (7.1)

        Скорость        Конвекция            Диффузия        Генерация   Диссипация

        изменения

Это уравнение выводится из уравнений Навье-Стокса и является точным, за исключением диффузионного члена, в котором диффузионный поток величины к принимается пропорциональным градиенту  к ( –эмпирическая постоянная). Уравнение (7.1) описывает, как скорость изменения  к  во времени уравновешивается конвективным переносом за счет турбулентного движения, генерацией за счет взаимодействия турбулентных напряжений и градиента средней скорости и диссипацией турбулентности .

В моделях с одним дополнительным уравнением скорость диссипации  обычно находим из соотношения

,                                        (7.2)

которое является следствием анализа размерностей, если предположить, что скорость диссипации  определяется крупномасштабным турбулентным движением и что это движение характеризуется масштабом скорости  и масштабом длины . Два принципиальных предположения делаем для того, чтобы связать турбулентные напряжения с кинетической энергией к, определяемой из уравнения ее переноса. Первое предположение исходит из концепции турбулентной вязкости, и тогда анализ размерностей дает так называемое соотношение Колмогорова-Прандтля

                                              .                                           (7.3)

Другое предположение было введено Брэдшоу и сотрудниками, которые не использовали концепции турбулентной вязкости, но преобразовали уравнение для кинетической энергии в уравнение турбулентного переноса касательного напряжения , предположив наличие прямой связи между  и к. Их модель была предназначена для пристеночных пограничных слоев, для которых согласно экспериментальным данным .