Ряды Фурье для четной и нечетной функций

29.10.98.

y=f(x)     (-p;p)

        

                                  

Пример!

Задана функция  представить его тригонометрическим рядом Фурье.

Решение!

Построим график функции на отрезке [-p;p], и периодически его продолжим на всю числовую ось.

По формулам находим коэффициенты Фурье для этой функции:

Аналогично вычисляем коэффициент b_n:   

Искомый ряд Фурье для заданной функции имеет вид:

Ряды Фурье для четной и нечетной функций.

а)Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю т.е.: , если f(-x)= -f(x) 

Например: f(x)=x; f(x)=x³; f(x)=sinx; f(x)=x cosx.

б)Интеграл от четной функции по симметричному промежутку равен удвоенному интегралу по половине промежутка, т.е.:  , если f(-x)=f(x) 

Например: f(x)=x²; f(x)=cosx; f(x)=x sinx.

  Для четных и нечетных функций выполняются свойства:

1)Чёт*Чёт=Чет

2)Нечет*Чет=Нечет

3)Нечет*Нечет=Чет

Например:    

Поэтому, для четной функции разложение в ряд Фурье идет только по косинусам: (1), где (2)

f(-x)=f(x), действительно 

Аналогично для нечетной функции разложение в ряд Фурье пойдет только по синусам: (3), где (4),

Действительно: 

Пример! (для четной функции)

Разложить в ряд Фурье функцию:   [-p;p]

Решение! Нарисуем график функции на промежутке от -p до p и периодически его продолжим: 

Раскладываем в ряд Фурье: т.к. функция f(x) является нечетной ее график симметричен относительно начала координат: f(-x)=-f(x), поэтому разложение в ряд Фурье идет только по синусам, значит: a₀=0 ; a_n=0 , при n=1,¥

Вычисляем коэффициенты b_n по формуле:

  

Выписываем ряд Фурье:  

Пример! (для четной функции)

 Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x² на промежутке [-p;p], и с помощью полученного разложения показать, что:   и 

Решение: 

Заметим, что график симметричен относительно оси ординат, т.е. функция четная f(-x)=f(x), и тогда разложение в ряд Фурье идет только по косинусам,  где b_n=0.

Находим 

Находим а_n: