Булевы предикаты замкнутых областей. R-отображения и R-предикаты. Основные системы R-функций

Министерство образования Российской Федерации

Кемеровский государственный университет

Новокузнецкий филиал-институт

Кафедра математики и математического моделирования

Теория R-функций

Конспект лекций

Сост.:

Новокузнецк 2003
Введение

Целью изучения курса «Теория R-функций» является овладение современными методами решения обратных задач аналитической геометрии и основанными на них методами решения краевых задач. Содержание курса требует предварительного овладения курсами общематематических дисциплин (дискретной математикой, алгеброй и геометрией, дифференциальными уравнениями и уравнениями математической физики) и существенно расширяет и углубляет знания, полученные студентами при изучении этих дисциплин.

Теория R-функций возникла в 70-е годы 20 века усилиями авторского коллектива под руководством советского математика В.Л. Рвачёва, которому принадлежат основополагающие результаты. В рамках этой теории разработаны методы аналитического представления сложных по форме геометрических фигур, что стало возможным на основе объединения и развития подходов теории множеств, алгебры и аналитической геометрии. Методы теории R-функций послужили основой для решения краевых задач уравнений математической физики в случае областей сложной геометрической формы, что дало возможность решать многочисленные прикладные задачи расчета реальных технических объектов. Особенностью методов, разработанных В.Л. Рвачёвым и его учениками, является возможность точного выполнения граничных условий. Кроме этого, теория R-функций успешно применяется в задачах геометрического проектирования и оптимизации формы.

Методы теории R-функций представляют собой так называемое конструктивное направление в геометрии, в котором в первую очередь рассматриваются задачи синтеза уравнений и функций с заданными свойствами. В этом её отличие от классической аналитической геометрии, которая занимается главным образом методами анализа известных уравнений и установлением их геометрических образов.

1. Булевы предикаты замкнутых областей

В аналитической геометрии рассматриваются множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям вида f(x)=0, где f – функция, принадлежащая некоторому достаточно общему множеству. Если f -–алгебраическая функция, то уравнение f(x)=0 определяет алгебраический чертеж (кривую, поверхность, гиперповерхность и т.д.) В традиционной аналитической геометрии рассматриваются алгебраические уравнения первого и второго порядка.  Задавшись уравнением, с помощью известных приёмов можно найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Прямая задача аналитической геометрии состоит в построении чертежа по заданному уравнению.

Обратная задача аналитической геометрии состоит в отыскании уравнения по заданному чертежу. Эта задача намного сложнее и допускает не единственное решение. Отыскание решения обратной задачи важно в тех случаях, когда требуется «оцифровать» геометрический объект.

Известным подходом к алгебраическому описанию формы геометрических объектов является использование теории множеств. Выберем в качестве унитарного множества I плоскость, на которой будем изображать множества в виде некоторых областей. Тогда с помощью алгебраических операций над множествами – пересечения, объединения, дополнения до унитарного множества – можно описать некоторые геометрические фигуры в виде операций над более простыми опорными множествами. Например, опорные множества в виде кругов на рисунке 1 после применения алгебраических операций дают заштрихованные области: общую часть кругов (рисунок 1, а) – операция , объединение кругов (рисунок 1, б) – операция , внешность круга (рисунок 1, в) – операция дополнения и т.д.

Рисунок 1. Результаты применения операций над множествами к двум кругам.

Методы теории множеств являются в некотором смысле слишком общими для использования в задачах аналитической геометрии. Мы всегда будем иметь дело с множествами специфического вида – точечными множествами. Один из вопросов, на который при этом необходимо ответить, это вопрос о принадлежности заданному множеству некоторой фиксированной точки.

Введём в рассмотрение булеву функцию точки , которая принимает значение 1 в точках данного множества и значение 0 – в остальных точках унитарной плоскости. Например, для опорного круга А на рисунке 1 эта функция может быть определена следующим образом:

,                                                                     (1)

где R_A, x^A – радиус и координаты центра круга А.