. Берем датчик равномерного распределения на [0,1] для ρ:
. Тогда и распределены по показательному закону с параметром λ ( 1-ρ, как и ρ, равномерно распределена на [0,1]). дает пуассоновский поток.
Теорема: Сумма N независимых потоков, среди которых нет доминирующих, дает при N → ∞ пуассоновский поток. На практике достаточно взять N>4.
4.3. Процессы гибели и размножения.
«Гибель» - обслуживание заявок, «размножение» - поступление новых заявок.
Пусть - событие, состоящее в том, что в момент времени t в системе находится ровно k заявок, и . Будем предполагать, что:
1. 2.
3. , если |m-k|>1
4.
Стационарный режим: , не зависят от t и при $ .
, для k≥1.
Найдем p0 из S pk. = 1.
Рассмотрим частный случай: , Þ , но S pk. = 1. , Þ 1) <1 2)
Итак, для стационарного режима .
Классификация систем массового обслуживания:
|
Характеристика входного потока |
Характеристика обслуживания |
Кол-во каналов |
Объем накопителя |
Число источников нагрузки |
|
М – поток простейший, D – детерминированный G – общий случай |
М – время распределено по показат. закону D, G |
m |
V (напр. бескон. очередь) |
n – число входных потоков |
Будем рассматривать М|М|1 и М | М | m. Если система замкнутая, то λk = (n - k) ∙ λ.
Если система многоканальная, то μk = min{m, k} ∙ μ - число работающих врачей.
4.4. Открытая система М | М | 1 (один врач).
Найдем среднее (по моменту времени):число заявок, находящихся в системе.
Знак суммы и производную мы меняли местами, т.к. ряд сходится равномерно.
,
Можно посчитать и другие характеристики. Воспользуемся формулой Литтла:
, т.к
Если система многоканальная (M|M|m), то нас может интересовать коэффициент занятости – доля работающих приборов (в среднем):
Коэффициент неготовности системы КНГ=– доля неработающих устройств.
Коэффициент готовности системы КГ=1-КНГ – доля работающих устройств.
Заметим, что для замкнутых систем может быть любым, в том числе >1.
4.5. Замкнутые системы с резервированием. Будем различать горячий и холодный резервы, т.е. исправные, но включенные или выключенные приборы.
Для системы с холодным резервированием: λk = λ∙min{n, n+r-k}.
Пусть имеется k – сломанных телевизоров, λk - интенсивность поломок.
n – работоспособных телевизоров, r – число резервных телевизоров.
КНГ= - доля комнат, где нет работающих телевизоров.
КГ=
№32. Пример: n=3; m=2; r=1.
5 приборов не может сломаться, так как у нас их всего 4=n+r
КГ= если - мало (т.е. малая интенсивность поломок)
Задача. Есть 4 станка и 2 ремонтника. Когда выше КГ, если они поделят зоны работы (1,2 – мой, 3,4 - твой) или если они будут работать вместе.
4.6. Задачи проектирования сетей технического обслуживания.
Сети состоят из ненадежного оборудования, размещенного в различных
пунктах. Где держать ремонтников? Стоит ли сосредоточить их в ЦТО - центрах
технического обслуживания, уменьшая капитальные затраты? При этом растут
транспортные расходы и время на переезды. Надо решать задачу о P-медиане.
В ней учитывается время переездов, т.е. прибор «ждет», пока до него доберутся. Стоит ли бригаде, приехавшей к сломанному прибору, помимо ремонта
проверить работоспособные приборы для профилактики? Если да, то возникает задача
коммивояжера, т.е. как быстрее проверить приборы во всех пунктах. Для определения
числа ремонтных бригад используем модели СМО, а в сложных ситуациях -
имитационные модели.
Казалось бы, сеть нужно строить в виде МОД. Но чтобы сеть была надежней (из-за непредвиденных ситуаций), она должна быть многосвязной. Граф назовем реберно-k-связным, если при удалении k ребер, он остается связным, но существует k+1 ребро, удаление которых нарушает связность. Для определения реберной связности графа решим задачу о максимальном потоке с единичными пропускными способностями ребер.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. -М.: Наука, 1980.
2. Оуэн Г. Теория игр.-М.: Мир, 1971. 230 с.
3. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. –М.: 1985
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.