Определение вида закона распределения случайной величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов

3. Определение вида закона распределения случайной величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов

Требуется установить вид закона распределения величины количества отказов тепловоза 2ТЭ10В и рассчитать параметры  установленного закона распределения.

Исходя из ранее полученной гистограммы распределения случайной величины, а также рекомендации преподавателя мною был выбран нормальный (Гауссовский) закон, плотность вероятности которого имеет вид:

 

где, l^` и S_l – параметры нормального закона распределения, велечины которых мы уже рассчитали ранее:

                               l^`=3,277                S_l=0,2666

Для возможности использования в качестве справочных данных таблиц нормированного нормального распределения в выражении (7) выполним замену переменных и их центрирование с соответствии с выражением:

где, l_i – cередина i-го интервала группирования значений наработок дизелей на неплановый ремонт.

Все необходимые вычисления удобно выполнять в табл. 3. Прежде всего по найденным значениям t_i  в табл. П1.4 находим значения  φ(t_i) нормированного нормального распределения и заполняем (столбец 5).

Значения теоретической вероятности f(ti) (столбец 6) для соответствующих интервалов группирования вычисляем по формуле:

Теоретические значения частот f_i (столбец 7), соответствующих нормальному закону распределения, находим из соотношения:

Последовательность аппроксимации эмпирического распределения экспоненциальным законом

  Таблица 3. 

№ п/п	X i, ч	f i, шт	λ∙X i	exp(-λ∙X i)	φ(X i)=λ∙exp(-λ∙X i)	f ` i=φ(X i)∙h∙∑f i	(f i - f ` i)^2/f ` i
1	48,17	31	0,3036	0,738	0,0046526	24,54	1,703
2	111,71	17	0,7041	0,495	0,0031173	16,44	0,019
3	175,24	12	1,1046	0,331	0,0020886	11,01	0,088
4	238,78	7	1,5051	0,222	0,0013993	7,38	0,020
5	302,32	7	1,9055	0,149	0,0009376	4,94	0,855
6	365,85	5	2,3060	0,100	0,0006282	3,31	0,860
7	429,39	1	2,7065	0,067	0,0004209	2,22	0,670
8	492,93	0	3,1070	0,045	0,0002820	1,49	1,487
9	556,46	3	3,5075	0,030	0,0001889	1,00	4,030
∑		83					9,731

v=k-c-1		χ^2=	9,731
v=9-1-1=	7

4. Определение вида теоретического закона распределения случайной величины графическими методами

Общая методика графической оценки согласованности закона распределения следующая:

-  подсчитывается накопленное количество значений случайной величины в каждом интервале группирования;

-   вычисляется оценка P = F(х) в соответствии c формулой:

-  на вероятностной бумаге, принятого к анализу закона распределения, наносятся точки с координатами:

                                         

Если эти точки сравнительно хорошо ложатся на прямую линию, то принимается гипотеза о согласовании эмпирических данных рассматриваемому закону распределения. В противном случае, берётся вероятностная бумага, соответствующая другому закону распределения, и проверка повторяется.

Составляем табл.4., в которой рассчитываем накопленные по интервалам вероятности.

Расчёт координат эмпирических точек заданной выборки

                                                                                  Таблица 4.

№ п/п	X i, ч	f i, шт	∑f i	F(l)=∑f i/(n+1)
1	48,17	31	31	0,369
2	111,71	17	48	0,571
3	175,24	12	60	0,714
4	238,78	7	67	0,798
5	302,32	7	74	0,881
6	365,85	5	79	0,940
7	429,39	1	80	0,952
8	492,93	0	80	0,952
9	556,46	3	83	0,988

         Используя полученные в табл.4. данные, строим  вероятностную сетку и выполняем проверку согласованности.

Выбор масштаба построения вероятностной сетки:

·  ширина графика (ось абсцисс) А = 140 мм ;

·  высота графика (ось ординат) Н = 180 мм .

Масштаб значений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:

Оценка среднего значения анализируемой случайной величины вычисляется на диаграмме при помощи ординаты ОС

                            

Уточняем значения оценок, т.к. горизонтальная ось начинается не из нуля, а от значения 16,40

                                                                  

5. Методика установления статистической связи между случайными величинами

Данные для расчета коэффициента корреляции