Определение вида закона распределения случайной величины количества отказов тепловоза 2ТЭ10В и расчёт параметров установленного закона распределения

3. Определение вида закона распределения случайной величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов

Требуется установить вид закона распределения величины количества отказов тепловоза 2ТЭ10В и рассчитать параметры  установленного закона распределения.

Исходя из ранее полученной гистограммы распределения случайной величины, а также рекомендации преподавателя мною был выбран логарифмически-нормальный закон распределения, плотность вероятности которого имеет вид:

            (7)

Процедура аппроксимации приведена в табл. 3. За случайную величину принимаем не l_i, а lgl_i. В связи с этим, новые значения выборочного среднего и среднеквадратического отклонения количества отказов тепловозов вычисляем по формулам:

    (8)

    (9)

Производим центрирование эмпирических данных, используя выражение:

           (10)

Соответствующие значения функции φ(t_i) определяем с использованием функции плотности нормированного нормального распределения:

       (11)

Значения теоретической вероятности φ(l_i) для соответствующих интервалов группирования вычисляем по формуле:

         (12)

Теоретические значения частот , соответствующих логарифмически-нормальному закону распределения, находим в соответствии с выражением:

     (13)

Последовательность аппроксимации эмпирического распределения логарифмически-нормальным законом

                                                                                                               Таблица 3.

№ п/п	X i, ч	f i, шт	f i∙lgX i	f i∙lg^2X i	t i	φ(t i)	φ(X i)=0,4343∙φ(t i)/X i∙SlgX	f ` i=φ(X i)∙h∙∑f i	(f i - f ` i)^2/f ` i
1	48,17	31	52,166	87,782	-1,122	0	0,000449	2,369	345,986
2	111,71	17	34,817	71,308	-0,057	0,1	0,000650	3,425	53,795
3	175,24	12	26,924	60,407	0,514	0,1	0,001037	5,468	7,802
4	238,78	7	16,646	39,584	0,905	0,3	0,001386	7,308	0,013
5	302,32	7	17,363	43,069	1,204	0,4	0,001530	8,069	0,142
6	365,85	5	12,817	32,853	1,446	0,4	0,001378	7,268	0,708
7	429,39	1	2,633	6,932	1,648	0,3	0,001022	5,392	3,577
8	492,93	0	0,000	0,000	1,823	0,2	0,000628	3,311	3,311
9	556,46	3	8,236	22,612	1,977	0,1	0,000322	1,698	0,998
∑		83	171,601	364,547				44,308	416,333

Логарифмически-нормальный закон распределения двухпараметрический, и, следовательно,  и . Поскольку в результате расчета  и , то эмпирическое распределение сглаживается логарифмически нормальным законом.

Рис. 3

Принимая полученные ранее оценки математического ожидания  и стандарта  в качестве параметров теоретического закона распределения, плотность распределения количества отказов тепловоза 2ТЭ10В можно записать в виде: