Непрерывные и дифференцируемые отображения. Неявные функции

220400                                                 Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр 2. Лекция 11.

Непрерывные и дифференцируемые отображения. Неявные функции

План

1.  Отображения множеств из пространства Rⁿ в пространство R^m. Непрерывные отображения.

2.  Дифференцируемые отображения пространства Rⁿ в пространство R^m.

3.  Функциональные определители. Условие независимости системы функций.

4.  Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций.

5.  Теорема об обратном отображении.

6.  Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

Литература: Ахипов А.И. с.332-344. Ильин В.А., т. 1, с.492 - 508. Ермаков В.И., с.266-270. Крамер В.Ш., с.404-410. 

1.  Отображения множеств из пространства Rⁿ в пространство R^m. Непрерывные  отображения. 

Определение 1. Пусть M Í Rⁿ. Отображение F  множества X в пространство R^m называется отображением из Rⁿ в R^m.  Отображение F каждой точке X(x₁,…, x_n) из множества M  ставит в соответствие единственную точку Y(y₁,…, y_m) Î R^m. Множество M называется областью определения отображения F.

Этому отображению F взаимно однозначно соответствуют m функций y₁ =  j₁(X), y₂ =  j₂(X),…, y_m =  j_m(X)  от n переменных, которые представляют координаты точки Y = F(X), т.е.

Y = (j₁(X), j₂(X),…, j_m(X)), y_s =  j_s(X), s = 1, 2, …, m.

Функции y₁ =  j₁(X), y₂ =  j₂(X),…, y_m =  j_m(X) называются координатными функциями.

Пример. Координаты точкив зависимости от координат скорости и времени отображение пространства R⁴ в R³.

Определение 2. Отображение F  пространства Rⁿ в R^m называется непрерывным в точке X₀ Î Rⁿ, если для любого положительного числа e можно указать такое положительное число d, что для всех точек X из области определения функции  F(X), удовлетворяющих условию d(X, A) < d выполняется неравенство d(f(X), f(A)) < e.

Определение 3. Отображение F  пространства Rⁿ в R^m называется непрерывным на множестве M Í Rⁿ, если оно определено на множестве M и непрерывно в любой точке X Î M.

Теорема 1. Отображение F непрерывно в точке X₀ тогда и только тогда, когда все его координатные функции y_s =  j_s(X), s = 1, 2, …, m.непрерывны в точке X₀.

Доказательство следует из определения непрерывного отображения и неравенства.

Отображения F  непрерывные на компакте обладают свойствами аналогичными свойствам непрерывных на компакте функций:

1)  об ограниченности: если отображение F : K ® R^m непрерывно на компакте K Í Rⁿ, то оно ограничено на нем;

2)  о равномерной непрерывности: если отображение F : K ® R^m  непрерывно на компакте K Í Rⁿ, то оно равномерно непрерывно на нем.

2.  Дифференцируемые отображения пространства Rⁿ в пространство R^m.

Определение 1. Отображение F: М ® R^m, определенное на множестве M Í Rⁿ называется дифференцируемым в точке  X Î M, предельной для множества M, если

F(X+ H) - F(X) = L(X)H  + a(X, H),                                                                                           (1)

где L(X)H - линейное относительно H отображение Rⁿ в R^m , a(X, H) = о(H) бесконечно малая при H®0, X+ H Î M.

Векторы  DX(H) = (X+ H) - X = H иDF(X,H) = F(X+ H) - F(X) называются соответственно приращением аргумента и приращением функции, отвечающей приращению аргумента. Эти векторы по традиции обозначаем символами DX, DF(X).

Линейная функция L(X) в соотношении (1) называется дифференциалом, касательным отображением функции F: М ® R^m, в точке X Î M и обозначается символом dF(X), DF(X), F'.(X).

Тогда соотношение (1) можно записать в виде

F(X+ H) - F(X) = F'.(X)H  + a(X, H) илиDF(X,H) = dF(X)H  + a(X, H).

Если векторы F(X+ H), F(X), L(X)H, a(X, H) из R^m записать в координатной форме

F(X+ H) = (f₁(X+ H),  …, f_m (X+ H)), F(X) = (f₁(X), …, f_m (X)), L(X)H =  (l₁(X)H, …, l_m (X)H), a(X, H) = (a₁(X, H), …, a_m(X, H)), то равенство (1) равносильно m координатным равенствам

f_i (X+ H) - f_i (X) = l_i (X)H  + a_i (X, H), i = 1,2,…,m.

Теорема 1. Отображение F: М ® R^m, определенное на множестве M Í Rⁿ , дифференцируемым в предельной точке  X Î M, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы все  координатные функции f_i (X), i = 1,2,…,m, задающие это отображение.