Действительные числа. Числовые функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики

220400                                                  Математический анализ                                        Толстиков А.В.

Курс 1. Семестр1. Лекция 3. Действительные числа. Числовые функции

План

1.  Числовые множества. 2. Действительные числа и их свойства. 3. Ограниченные множества. Границы множеств. 4. Функция. Область определения и множество значений функции. График функции.  5. Композиция функций, сложные функции. 6. Обратные функции. 7. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Литература: Ильин В.А., с.35-56, 95-58. Письменный Д., с. 97-107. Ермаков В.И., с.175-179,192. 

1.  Числовые множества.

Натуральные числа. Обычно множество N = {1, 2, 3,…}натуральных чисел и его свойства предполагаются известными из школьного курса математики. Необходимо отметить, что в школе действия сложения, умножения над натуральными числами строго не определяются и их свойства не доказываются. Также из школы известно, что множество N - линейно упорядоченное множество относительно обычного отношения £. Справедливо следующее интуитивно ясное утверждение:

Принцип минимума. Каждое непустое подмножество A множества N натуральных чисел содержит минимум (наименьшее число).

Отсюда легко могут быть получены следующие теоремы (теоремы индукции), обосновывающие законность индуктивных доказательств.

Теорема 1.  Пусть P(n) -предикат (теорема, утверждение, предложение), определенный на множестве N натуральных чисел. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

1.  при n =1 предикат P истинен;

2.  для всякого kÎ N, если предикат P истинен при n = k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n.

Теорема 2.  Пусть P(n) -предикат, определенный на множестве N натуральных чисел n ³ r. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

1.  предикат P истинен для некоторого натурального r;

2.  для всякого kÎ N, k ³ r, если предикат P истинен при n = k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n ³ r.

Теорема 3.  Пусть P(n) -предикат, определенный на множестве N натуральных чисел n ³ r. Пусть предикат P обладает двумя свойствами:

1.  предикат P истинен для некоторого натурального r;

2.  для всякого kÎ N, k ³ r, если предикат P истинен для всех чисел n: r £ n £ k, то он истинен и при n = k  + 1.

Тогда предикат P истинен для всех натуральных чисел n ³ r.

Теоремы 1-3 являются основой специального метода доказательства теорем, называемого методом математической индукции ("доказательство методом полной индукции").

Всякое доказательство методом математической индукции состоит из двух частей. Например, рассмотрим схему доказательства, основанного на теореме 1.

1.  Сначала проверяется истинность предложения P для натурального числа n =1 (база индукции).

2.  Затем делается допущение, что предложение P истинно для произвольного натурального числа n = k (индуктивное предположение). Затем на основе этого предположения выводится справедливость предложения P для n = k  + 1 (индукционный переход). Индуктивное предположение вместе с индуктивным переходом называется индуктивным шагом.

Теперь, так как удовлетворяет всем условиям теоремы 15.1, можно заключить, что предложение P истинно для любого натурального числа n.

Если требуется доказать, справедливость предложения P для всех натуральных чисел, начиная с числа r, то доказательство должно быть основано на теореме 15.2. Его схема доказательства отличается от схемы, приведенной выше, индуктивным шагом.

Если при индуктивном переходе требуется истинность предложения при n £ k, то доказательство должно быть основано на теореме 15.3. Его схема доказательства отличается, от схемы, приведенной выше, индуктивным предположением.

Необходимо подчеркнуть, что любое индуктивное доказательство включает в себя и базис индукции, и индуктивный шаг.

Пример 1. Доказать, что

(1+x)ⁿ  > 1 + nx, где x > -1, x ¹ 0, x Î R, n Î N,  n³  2 (неравенство Бернулли).

Доказательство. 1. Так как x² > 0, то (1+x)²  = 1 + 2x + x² > 1 + 2x, т. е. неравенство верно при n = 2.

2. Предположим, что неравенство верно для некоторого n = k ³ 2:

(1+x)^k  > 1 + kx.                                    (15.1)

Докажем, что тогда оно верно для n = k + 1: (1+x)^{k + 1}  > 1 + (k + 1)x.

Умножая неравенство (15.1) на число 1+x >0 , имеем

(1+x)^{k + 1}  > (1 + kx)( 1+x) = 1 + kx + x + kx² > 1 + (k + 1)x

(так как kx² > 0).

Из пунктов 1 и 2 по теореме индукции 15.2 следует справедливость неравенства для всех натуральных чисел n³  2. 

Пример 2. Доказать, формулу

(a +b)ⁿ  = aⁿ + a ^n-1b + a ^n-2b²+ a ^n-3b³+…+ a ^n-kb^k+…+ ab^n-1 +  b ⁿ, где a, b Î R, n Î N,  (бином Ньютона).

Доказательство. Доказать самостоятельно, используя свойства биномиальных коэффициентов  (формула Паскаля).

Целые числа. Множество Z = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} целых чисел также предполагаем