Несобственные интегралы с параметром. Гамма-функция

, т.е. "e>0 $U(b) (окрестность точки x=b ):  "tÎU(b),"yÎ[c,d]

.

Пример 9. Рассмотрим интеграл  ,  где  yÎ[0,¥).   Он сходится в каждой точке yÎ[0,¥).  Действительно, если  y= 0,  то и  I(y)= 0.  Пусть  y¹0:

.

Возьмём какое–либо число  c> 0 и покажем, что на промежутке [c,¥) наш интеграл сходится равномерно. Обозначим:

.

Требуется доказать, что    ,   т.е.

"e>0  $M: "t> M,"yÎ[c,¥)|F (t,y) – I(y) |=| –e^–ty+1–1| = e^–ty < e.

Решая последнее неравенство, найдём  t:

–ty < ln eÛÛ.

Итак, можно взять . Тогда, если  t> M,  то  , а значит будет выполнено  ( "yÎ[c,¥) )  неравенство   | F(t,y) – I(y) | < e,   что и означает равномерную сходимость.

Заметим, что на множестве  [0,¥)  равномерной сходимости нет. Действительно, для равномерной сходимости требуется, чтобы  "e> 0   при достаточно больших t. Однако ясно, что если  e< 1, то не существует числа t, для которого это выполняется при любом   yÎ(0, ¥).

Доказательство равномерной сходимости несобственных интегралов удобно проводить с помощью признака Вейерштрасса – как и в случае функциональных рядов.

Теорема 7 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если для интеграла  существует  мажорирующий его сходящийся интеграл , т.е.

|f(x,y) |£j(x)   ("xÎ[a,b),  "y Î[c,d]), то  I(y)сходится на  [c, d] равномерно.

Доказательство не приводится. Покажем лишь применение признака Вейерштрасса на примерах.

Пример 10. Интеграл  равномерно сходится на всей оси, так как "y

, а интеграл  сходится:    .

Пример 11.  Интеграл  ,  зависящий от параметра  a, сходится равномерно на любом промежутке  [c, ¥),  если  c > 0.

Проверим, что мажорирующим для данного является интеграл      (здесь с,  в отличие от  a, постоянное число).   Действительно,

("aÎ[c, ¥)), и нужно лишь доказать, что интеграл  сходится. Так как , то сходимость интеграла  равносильна сходимости интеграла  (функция  непрерывна, поэтому  – конечное число).   Для интеграла   применим признак сравнения: при x ³ 1    ,     а интеграл  ,  т.е. сходится. По признаку сравнения, сходится и   .

Без доказательств сформулируем теоремы о непрерывности интеграла с параметром, о дифференцировании и интегрировании по параметру, аналогичные  теоремам о непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда, о почленном  дифференцировании и интегрировании таких рядов.

С другой стороны, эти теоремы похожи на соответствующие теоремы раздела 16.1, где рассматриваются собственные интегралы с параметром. Отличие в том, что для несобственных интегралов везде требуется равномерная сходимость. В формулировках теорем    – несобственный интеграл с особенностью в точке  x = b.

Теорема 8. Если функция f(x,y) непрерывна на  D= [a,b) ´ [c,d],  а интеграл I(y) сходится равномерно на [c, d], то  I(y) – непрерывная на  [c, d]  функция, и  "y₀Î[c, d]

.

Теорема 9. Пусть f(x,y),  непрерывны на  D= [a,b) ´ [c,d]. Если интеграл  сходится в каждой точке [c,d] , а интеграл  сходится равномерно на [c,d] , то

.

Теорема 10. Если f(x,y) непрерывна на D= [a,b) ´ [c,d] и I(y) сходится равномерно на конечном отрезке  [c,d],  то

.

Замечание. Равномерной сходимости на бесконечном промежутке уже недостаточно – изменение порядка интегрирования в этом случае может привести к изменению результата.

16.3  Гамма–функция

Среди функций, которые не являются элементарными, одной из важнейших является так называемая гамма–функция, определяемая в виде несобственного интеграла, зависящего от параметра:

.

Мы рассмотрим наиболее важные свойства этой функции.

Область определения функции  Г(s) состоит из тех чисел s, для которых несобственный интеграл сходится. Кроме бесконечного верхнего предела, интеграл   при  s < 1 имеет ещё особенность в точке х= 0. Поэтому представим его в виде суммы:           .

Интеграл  I₂ сходится при любом s. Действительно, вычислим предел (применяя, если нужно, несколько раз правило Лопиталя):

.

Значит, при больших х:   .   Но мы знаем, что  сходится. Поэтому, по признаку сравнения,      тоже сходится.

Рассмотрим теперь  и сравним его с интегралом  с помощью предельного признака сравнения  (теорема 3¢  из 8.2):

.

Так как получилось конечное ненулевое число, то либо оба интеграла сходятся, либо оба расходятся. Легко установить (и это было сделано в 8.2), что  сходится тогда и только тогда, когда 1–s < 1, т.е. при  s > 0 . Следовательно, интеграл  I₁ , а вместе с ним и Г(s)= I₁+I₂  сходятся только при s >0. Область определения  Г(s) – все положительные действительные числа.

Без доказательства отметим, что функция Г(s) дифференцируема (а значит и непрерывна) в любой точке  s > 0 , причём

.

Более того, существуют производные всех порядков:

.

Для вывода важного свойства гамма–функции, проведём вычисления: