Итоговые контрольные вопросы по дисциплине "Математический анализ" (Модули 9-16 с бланком ответов)

ИТОГОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Модуль  9

1.  Пространство Rⁿ. Открытые и замкнутые множества в Rⁿ.

2.  Предел последовательности точек Rⁿ. Теорема о покоординатной сходимости. Предельные точки.

3.  Компактные и связные множества в Rⁿ. Критерий компактности.

4.  Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Теорема о непрерывности сложной функции.

5.  Свойства функций, непрерывных на компактном множестве.

6.  Теорема о промежуточных значениях.

7.  Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.

8.  Дифференцирование сложных функций.

9.  Дифференциал, его свойства и применение в приближённых вычислениях.

10.  Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Модуль  10

11.  Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

12.  Понятие экстремума. Необходимые условия экстремума.

13.  Достаточные условия экстремума.

14.  Теоремы о существовании и дифференцировании неявных функций.

15.  Системы неявных функций.

16.  Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.

17.  Скалярное поле. Производная скалярного поля по заданному направлению.

18.  Градиент скалярного поля.

19.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Модуль  11

20.  Определение и свойства меры Жордана. Мера непрерывной кривой. Критерий измеримости.

21.  Определение и свойства кратных интегралов.

22.  Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовой системе координат.

23.  Замена переменных в двойном интеграле. Полярная система координат.

24.  Вычисление тройных интегралов в цилиндрической и сферической системах координат.

25.  Криволинейные интегралы 1 рода. Определение, свойства, вычисление, применения.

26.  Определение площади поверхности, её вычисление с помощью двойного интеграла.

27.  Поверхностные интегралы 1 рода. Определение, свойства, вычисление, применения.

28.  Геометрические и физические приложения интегралов.

Модуль  12

29.  Криволинейные интегралы 2 рода. Определение, свойства, вычисление. Задача о работе.

30.  Формула Грина.

31.  Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

32.  Признак полного дифференциала. Отыскание первообразной для полного дифференциала.

33.  Определение и способы вычисления поверхностного интеграла 2 рода. Задача о потоке жидкости.

34.  Формула Гаусса–Остроградского.

35.  Формула Стокса.

36.  Условия потенциальности векторных полей в R² и R³.

37.  Дивергенция векторного поля. Различные подходы к её определению. Соленоидальные векторные поля.

38.  Гармонические функции и гармонические векторные поля. Операторы Гамильтона и Лапласа.

Модуль  13

39.  Определение и свойства сходящихся числовых рядов. Пример гармонического ряда.

40.  Признаки сравнения рядов с положительными слагаемыми.

41.  Признаки Даламбера и Коши.

42.  Интегральный признак сходимости.

43.  Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.

44.  Теорема Лейбница.

45.  Свойства положительной и отрицательной частей числового ряда.

46.  Перестановки в рядах.

Модуль  14

47.  Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

48.  Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

49.  Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

50.  Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.

51.  Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

52.  Равномерная сходимость степенных рядов и следствия из неё.

53.  Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в степенной ряд.

54.  Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

Модуль  15

55.  Ряд Фурье по тригонометрической системе функций.

56.  Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций; функций, определённых на произвольном отрезке [a,b].

57.  Комплексная форма ряда Фурье.

58.  Приближение функций тригонометрическими многочленами.

59.  Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.

60.  Приближение непрерывных функций алгебраическими многочленами.

61.  Абстрактные ряды Фурье в гильбертовом пространстве.

62.  Интеграл Фурье.

63.  Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье.

Модуль  16

64.  Понятие интеграла, зависящего от параметра. Непрерывность и переход к пределу.

65.  Дифференцирование и интегрирование по параметру.

66.  Свойства и примеры несобственных интегралов, зависящих от параметра.

67.  Определение и основные свойства Г–функции.

Ответы к упражнениям

9.

1.  а) Замкнутая полуплоскость { (x, y) | x³ 2y };  б) открытая часть плоскости, ограниченная параболой y²= 8x, не включающая фокус параболы;  в) все точки плоскости, не лежащие на эллипсе ; открытое множество;  г) прямоугольный треугольник с вершинами (0, 0), (0, 2), (3, 0), включая точки гипотенузы; не является открытым или замкнутым множеством;     д)  Замкнутая   вертикальная   полоса       { (x, y) | 3 £x£ 5 };    е) все точки, находящиеся вне круга радиусом  с центром (2, 1), замкнутое множество; ж) открытая пирамида с вершинами  (0, 0, 0), (– 10, 0, 0), (0, – 5, 0), (0, 0, – 2);        з)  всё пространство, кроме точек оси  OZ,  открытое множество.

2.  а) Не существует;  б)  0,5 ;  в)  0,25 ;  г) не существует;  д)  0 ;  е) не существует;  ж) ;  з) 0,5.

3.  а) Непрерывна во всех точках, где определена; точки параболы x² =–2x являются предельными для области определения;   б) имеет разрывы в точках прямых x= 1, y= 2;     в) разрывна в точке (0, 0), а также в точках окружности x²+ y² = 1;    г) точек разрыва нет, непрерывна везде, где определена;     д) разрывна в точках  прямой    x+ y = 0,  кроме точки (2, – 2);     е) непрерывна.

4.  а) ; б) ; в) ;       г)  z¢_x= 2 sin (x+y) + (4x+ 6y) cos (x+y),          z¢_y= 3 sin (2x+y) + (2x+ 3y) cos (2x+y);     д) , ;           е);                 ж)f ¢_x=y(x+2z)^y–1,             f ¢_y=(x+2z)^y ln(x+ 2z),              f ¢_z= 2y(x+2z)^y–1;             з)    ,     .

5.  а) ;   б) ; в)   ;         г)    .

6.    а) ;     б) ;     в)     =sin(x+y)+xcos(x+y);  г)  =e^xyz(1 + 3xyz+x²y²z²).

7.  а)  ; б) ;

в) dz=5^xy ln5(ydx+xdy ),d²z= 5^xy ln 5[y²ln5(dx)²+2(xyln5+1)dxdy+x²ln5(dy)²];

г) df= (y+z)dx+ (z+x)dy+ (x+y)dz,    d²f= 2(dxdy+ dydz+ dxdz).

8.    а)    dz= 23dx+ 32dy,  d²z= 16(dx)² + 28dxdy+ 36(dy)²;    б)    dzº 0, d²z=; в);

г)   .

9.   а)  24,465;    б)  3,485;    в)  7,789;    г)  4,96;    д)  0,503;     е)  1,015.

10.

1.  а) ; б) ;

2.  а) В области определения нет стационарных точек; б)  – точка минимума, в стационарной точке (0, 0) экстремума нет;  в) нет экстремума;   г) (0, 0) – точка минимума, – точка максимума, в точках (1,±4) экстремумов нет;  д) (1, 1) – точка минимума; е) (3, 6) – точка максимума, в точке (0, 0) экстремума нет.

3.  а)  z(0, 0) = 0,  z(0, –3) = –9 ;       б)  z(–1, 2) = z(2, –1) = 13,  z(–1, –1) = –5 ;  в) z=0 (в точках параболы y²+2x= 0 ),  z(–1, 0) = ;   г) z(–3, 4) = 225, z(3, –4) = 25.

4.  а) ; б) уравнение не определяет в окрестности P функцию y=y(x);  в) , y¢(1) = –1;  г) , y¢(1) =( p – 1);

5.  а) z¢_x= 0,  z¢_y= – 2;    б)  z¢_x= – 2,  z¢_y= – e;     в)  z¢_x= – 5,  z¢_y= 0.

6.  .     7. а) ;     б) ;   в) f_min= – 1 (в точках (1, – 1), (–1, 1) ),    f_max= 1 (в точках (1, 1), (–1, –1) );           г)  f_min (–1, 2, –2) = – 9,    f_max ( 1, – 2, 2) = 9.

8.  .        9. Наиболее удалена точка    (–3, 0),    наименее – точки   (1,8,  ±1,6).           10.   –0,3.            11.    1.            12.    .

13.  Производная максимальна в направлении вектора  ,  она равняется  .

14.   а) ;   б) ;                                      в)    ,  ;            г) .

15.    а) ;               б)  ;                                             в)   ;                 г)   .

16.   а)x–2y+2z=9,    ;б)x–4y+2z+5=0, ;    в)   6x+3y– ;                 г)4y–3z=12,      .

11.

1.  а)   б)      в)  г)        2.  а)     б)                            в)       г)   

3.   а)  ;     б) ;      в)   3p;        г) ;        д)  ;       е)  2pab.

4.  а) ;     б) ;     в)  1 – ln2;     г) ;      д)  81p;       е)  12p.

5.  а) ;    б) ;    в) ;    г) ;    д);     е) .

6.  а) ;     б) 32;     в) ;      г) 18p.                     7.    а)  ;

б)     ;        в)  ;          г)   .

8.  а)  ;     б)  8p;     в)  4;     г)  27p.             9.   а) ;     б)  6a;      в)  .

10.   а)  ;     б)   ;        в)  ;       г)   .

11.  .          12.  .         13.  pR³.          14.   4pk.          15.   .

16.  ,    где    r=const – плотность.             17.   .

18.   .         19.  .        20.  .        21.   . 

22.     pR³.          23. .          24.   .         25.    4p.

12.

1.  а)   ;       б)  ;       в)  –4.                    2.     а)  2,5;         б)  .

3.   а)  –12p;      б)  –75p.            4.   12p.                      5.   29,5;    не зависит.

6.  а)  U(x, y) =  + C;            б)   U(x, y) = ln (x² – 2y²) + C.

7.   а)   U(x, y) = arcsin + C;          б)   U(x, y) = y(x – 1)e^x + C;                                       в)    U(x, y, z) = 3x² +  + 5xz + C;                 г)    U(x, y, z) = x ln y + y ln z.

8.  16,5.       9.   .      10.  .       11. .     12. .     13.  12p.      14. .

15.   а) ;      б)  ;  в)  ;          г)    .

16.  .       17.        40.

13.

1.     а) ;      б) ;      в) ;       г) ;  д)   ;         е)   .

2.  а) Расходится;     б) сходится;      в) сходится;      г) сходится;       д) расходится;   е)  сходится;    ж) расходится;       з) расходится.

3.   а)  Сходится;       б) расходится;       в) сходится;       г) сходится;        д) сходится; е) сходится;    ж) расходится;     з) сходится.

4.  а) Сходится;     б) расходится;     в) расходится;     г) сходится.

5.  а) Расходится;  б) сходится;  в) сходится;  г) сходится;   д) сходится;  е) сходится.

6.  а) Расходится; б) расходится; в) сходится; г) сходится; д) сходится;  е) сходится.

7.  а) Сходится условно; б) сходится условно; в) сходится абсолютно;