Несобственные интегралы с параметром. Гамма-функция, страница 2

.

Итак,

Г(s+1)= s Г(s).

Отсюда следует, что

Г(s+2)= (s+1)×s×Г(s),

………………………………………

Г(s+n)= (s+n–1)(s+n–2)...(s+1)s×Г(s).

В частности, при  s = 1  получаем:

Г(n+1)= n!Г(1).

Значение  Г(1) легко вычислить:

.

Поэтому Г(n+1)= n!. Мы получили, что дифференцируемая функция Г(s) является продолжением факториала (определённого лишь для натуральных чисел) на множество всех положительных действительных чисел.

Так как Г(2) = Г(1) = 1, то, по теореме Ролля, на отрезке [1, 2] есть точка, где производная обращается в 0. Вторая производная, очевидно, во всех точках положительна

(так как подинтегральная функция положительна). Значит, точка s₀, где  Г¢(s₀)= 0, является точкой минимума. Можно вычислить:

s₀ = 1,4616....,     Г(s₀)= 0,8856... .

График функции Г(s) имеет следующий вид:

Приведём без доказательства ещё одну важную формулу, называемую формулой дополнения:

.

В частности, при :

,      т.е.      .

Формула Г(s+1)= sГ(s) и формула дополнения позволяют выразить любое значение гамма–функции через её значения на отрезке  .  Для использования            Г–функции в практических расчётах составлены подробные таблицы.

16.4 Задачи с решениями

1.  Найти производную функции     .

Решение. Здесь от параметра  х зависит не только подинтегральная функция, но и пределы интегрирования. Поэтому применяем формулу, выведенную в теореме 5:

.

В данном случае можно вычислить интеграл и записать ответ в явном виде:

.

2.  Вычислить  ,   если    .

Решение.   Так  как  подинтегральная  функция  непрерывна  на  прямоугольнике [0,1] ´ [1,3] , то можно изменить порядок интегрирования:

.

3.  Доказать что несобственный интеграл     равномерно сходится на отрезке  [0, 1].

Решение.  Так как   ln x < x,  то при  x³1

x^s–1×lnx×e^–x  <  x^se^–x  £ x e^–x.

Интеграл  сходится:

.

Значит, интеграл  является мажорирующим для I(s). По признаку Вейерштрасса, I(s) равномерно сходится.

4.  Вычислить интеграл     .

Решение. Интеграл является несобственным с особенностью в точке х= 0: при х®0  неограничен и логарифм, и функция x^a–1 (при a < 1). Рассмотрим интеграл . Он сходится и легко вычисляется: .  Искомый интеграл можно получить из этого путём дифференцирования по параметру а. Однако, чтобы применить теорему 9, нужно убедиться в равномерной сходимости интеграла .   Докажем, что этот интеграл равномерно сходится на любом промежутке [a₀,¥),  где   a₀ > 0.  Для этого следует найти мажорирующий сходящийся интеграл. Заметим: так как  xÎ(0, 1),  то

| ln x| £  | ln x|.

Теперь нужно доказать, что интеграл  сходится. Сравним его с   ,  где число   eÎ(1–a₀, 1) . Вычислим предел:

(степень x положительна, неопределённость  0×¥ легко раскрывается по правилу Лопиталя).  Следовательно, при малых х

, а интеграл  сходится. Поэтому  сходится. Значит,  сходится равномерно и можно применить теорему  9:

.

5.  Вычислить    .

Решение. Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра:  . Он легко вычисляется: . Применим к нему теорему о дифференцировании по параметру:

.

С другой стороны     .   Значит,

.

Дифференцирование  по  параметру  законно,  так  как  при    a> 0        , и сходящийся интеграл     является мажорирующим для   . Поэтому  ,  а следовательно и   ,   сходятся равномерно.

6.  Вычислить интеграл Эйлера – Пуассона     .

Решение. Сделаем замену переменной:  x = ut,  где  u > 0 – параметр. Тогда

.

Умножим это равенство на     и проинтегрируем в пределах от  0 до  ¥:

.

Левая часть:   .   Вычисляем правую часть, изменяя порядок интегрирования:

.

Следовательно, . Правомерность изменения порядка интегрирования оставляем здесь без доказательства.

7.  Вычислить , не используя формулу дополнения для гамма–функции.

Решение. Сделаем замену переменной:

.

Подставим    и воспользуемся интегралом Эйлера – Пуассона:

.

16.5  Упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислить пределы:

а)     ;                        б)    ;

в)    ;                г)   .

2.   Найти производную функции:

а)    ;          б)    ;

в)    ;           г)    ;

д)    ;         е)    .

3. Найти   ,  если     .

4.  Найти   ,    если      .

5. Доказать, что интеграл  равномерно сходится на отрезке [3,5].

6. Доказать, что интеграл      равномерно сходится на   [0, ¥).

7. Вычислить   .    Указание: см. задачу 4 из 16.4.

8. Вычислить   .   Указание: см. задачу 5 из 16.4.

16.6 Образец теста

(для дистанционной формы обучения)

1. Найти значение  f(p),  если  .

2.  Найти .

3. Вычислить f¢(0), если .

4. Вычислить , если .

5. Несобственный интеграл    на отрезке [1, 2]       1) сходится равномерно;       2) сходится, но не равномерно;       3) расходится в некоторых точках этого отрезка.   Указать номер истинного высказывания.

6.  Вычислить Г(5).