Абстрактные ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

<Пусть j₁, j₂, ... , j_n, ... – ортонормированная система элементов в L. Допустим, что f=– сумма сходящегося ряда. Умножим обе части последнего равенства скалярно на j_j (строгое обоснование такой возможности, основанное на непрерывности скалярного произведения, проводить не будем):

(f,j_j) =(j_i, j_j) =a_j.

Ряд с такими коэффициентами

j_i

называется рядом Фурье элемента  fÎL  по ортонормированной системе j₁, j₂, ... , j_n, ... . Числа (f, j_i) называются коэффициентами Фурье элемента f.

Коэффициенты Фурье (f, j_i) можно вычислить для любого элемента fÎL. Однако не обязательно справедливо равенство   f=j_i.   Ряд может расходиться, а может сходиться, но к другому элементу. Однако частичные суммы ряда Фурье отличаются от f меньше любых других линейных комбинаций элементов j₁, j₂, ... , j_n, ... . Другими словами справедлива общая теорема, доказанная выше для случая тригонометрической системы в пространстве C[ –p,p ] (см. теорему 6).

Теорема 6¢.   Норма   ||f– ||   принимает  наименьшее  значение,  когда     a_i= (f, j_i) – коэффициенты Фурье. В этом случае

||f– ||² =||f²||– .

Доказательство. Проведём вычисления:

||f– ||² = (f– , f– ) =

= ( f, f ) – 2( f, ) + (, ) = ( f, f ) – 2 (f, j_i) +=

= ( f, f ) + =

= ( f, f ) + –.

Ясно, что наименьшее значение это выражение принимает, если второе слагаемое  равно 0, т.е. при  a_i= (f, j_i).

Следствие (неравенство Бесселя).

£ (f, f).

Доказательство. Из полученного в теореме 6¢ соотношения видим, что для любого n

||f||² – ³ 0.

Переходя к пределу при n® ∞, получаем:

£||f||² = ( f, f ).

Замечание. Полезно проследить аналогию в доказательствах общих теорем и рассмотренного выше частного случая (теорема 6 и следствия из неё).

Рассмотрим ещё одно понятие. Система функций в гильбертовом пространстве L    j₁, j₂, ... , j_n, ... называется полной, если любой элемент f можно с любой точностью приблизить линейной комбинацией j_i. Точнее, полнота системы { j_i } означает, что для любого fÎL

"e> 0      $l₁, l₂, ... , l_nÎR :    ||f–  ||<e.

Для ортонормированной системы { j_i } полнота означает, что ряд Фурье по системе { j_i } любого элемента  fÎL сходится к самому элементу  f.  Действительно, по теореме 6¢

, и из полноты системы следует сходимость ряда Фурье. Обратное очевидно.

Теорема 9. Ортонормированная система { j_i } является полной     Û     для любого fÎL   справедливо равенство Парсеваля:

(f, f) =.

Доказательство. В теореме 6¢ получено соотношение:

.

Полнота системы { j_i } равносильна сходимости ряда Фурье, т.е. стремлению левой части равенства к 0 (при n® ∞).  Равенство Парсеваля равносильно стремлению к 0 правой части равенства. Отсюда, очевидно, следует справедливость теоремы.

Замечание. На языке полных систем функций можно сформулировать рассмотренные выше теоремы Вейерштрасса. Причём полноту здесь можно понимать в смысле равномерного приближения:

система { f_i(x) } является полной в пространстве непрерывных функций на отрезке [a, b] Û Û      "f(x)   "e> 0   $l₁, ... , l_nÎR:     "xÎ[a, b]     |f(x) –  |<e.

Теорема 5¢ (первая теорема Вейерштрасса).   Тригонометрическая система            1, sint, cost, sin 2t, cos 2t, ... является полной в пространстве непрерывных на [–p, p] функций, для которых  f(–p) =f(p).

Теорема 8¢ (вторая теорема Вейерштрасса). Система функций 1, x, x², x³, ...  является полной в пространстве непрерывных на [a, b] функций.

Если  рассматривать  полноту  в  смысле  среднего квадратичного,  то требование f(–p) =f(p)  в теореме 5¢ можно убрать.

15.4  Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Пусть функция  f(x) обладает свойствами:

1)  f(x)  абсолютно интегрируема на  R,  т.е. сходится интеграл

;

2) На любом отрезке  [ – ℓ, ℓ]  функция  f(x)  разлагается в ряд Фурье.

Проведём преобразования, используя известные формулы для коэффициентов a_n, b_n:

f(x)

.

Введём теперь новую переменную  w,  непрерывную на  [0, ∞)  и принимающую значения:

w₀= 0,   .

Обозначим:  Dw_n=w_n–w_{n –1}=.   Тогда второе слагаемое можно представить в виде:

.

При  ℓ ® ∞ эта сумма в определённом смысле похожа на интегральную сумму для функции

g(w) cos w(x – t)dt.

(Промежуток [0, ∞) разбит на равные отрезки длиной Dw_n=, для составления суммы выбраны правые концы этих отрезков – числа w_n=). Поэтому можно предположить, что при ℓ ® ∞ (разбиение измельчается) эта сумма стремится к интегралу

.

Слагаемое    при  ℓ ® ∞  стремится к  0,  так как

, а   – по условию, конечная величина.

Левая часть исходного равенства – функция f(x) – не изменяется при ℓ ® ∞, поэтому, переходя к пределу, получаем:

f(x) =.

Эта формула – интегральная формула Фурье – справедлива в тех точках x, где функция f(x) непрерывна. В точках разрыва вместо f(x) слева нужно написать , как и для ряда Фурье.

Итак, не приводя строгого доказательства, мы пришли к следующему результату.

Теорема 10. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей оси и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на любом конечном промежутке, то в любой точке  x справедлива интегральная формула Фурье:

.

Чтобы показать аналогию интеграла Фурье и ряда Фурье, проведём некоторые преобразования. Для простоты рассматриваем точки  x,  где  f(x)  непрерывна.

f(x) =[cos wt × cos wx + sin wt × sin wx] dt =

=.

Обозначим:      A(w) =cos wt dt,             B(w) =sin wt dt.

Тогда получим:

f(x) =.