Абстрактные ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, страница 3

(f^*)^* º f.

Аналогично, если  f(x) – нечётна, то можно рассмотреть синус – преобразование:

f_*(w) =.

В этом случае также f(x) =, а повторное применение синус – преобразования возвращает к исходной функции:   (f_*)_* ºf.

15.5   Задачи с решениями

1.  Разложить в ряд Фурье функцию    

Решение. Продолжим f(x) на всю прямую так, чтобы она стала периодической. Наиболее простой способ – периодическое продолжение с периодом 2p:

Функция, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Следовательно, разлагается в свой ряд Фурье:     f(t) =,        где

a_n = f(t) cos nt dt,          b_n = f(t) sin nt dt,     n = 0, 1, 2, 3, 4, … .

Найдём коэффициенты:

a_n=.

Второе слагаемое легко вычисляется. Первое слагаемое интегрируем по частям: u= t,          du= dt,  dv= cosntdt,   v= sinnt.  Продолжаем вычисление:

a_n=

Поскольку приходилось делить на  n,  то  a₀  нужно вычислить отдельно:

a₀=.

Вычисляем b_n:

b_n=

Запишем ответ:

f(t) =

В точках разрыва сумма ряда равна не f(t), а среднему арифметическому левого и правого пределов: .    В точках  0, ±2p, ±4p, ...  сумма ряда равна  ;  в точках ±p, ±3p, ±5p, ... сумма ряда равна 0.

2.  Разложить функцию   f(x) = e^2x   на интервале  (0,p)  в ряд Фурье по синусам.

Решение. Так как требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то периодическое продолжение должно быть нечётным:

Для нечётной функции  a_n= 0.  Вычисляем  b_n:

b_n=

.

Получили:    .         Находим отсюда b_n:

Ответ:  ,  за исключением точек   x= kp.  В них сумма ряда равна 0.

3.  Разложить в ряд Фурье  функцию  f(x) = x– 2, заданную на интервале (7, 13).

  Решение. Имеется много способов периодического продолжения функции. Выберем, например, тот, при котором получается период T= 6:

Функция разлагается в ряд Фурье:  f(t) =, где

a_n = ,        b_n = ,     n = 0, 1, 2, 3, … .

Если периодическая функция с периодом T интегрируется по отрезку длиной T, то результат не зависит от положения отрезка. Здесь нам, конечно, удобнее интегрировать не по отрезку [–3, 3],  а по отрезку [7, 13], так как именно на этом отрезке нам известна формула, определяющая  f(x).

Вычисляем коэффициенты:

a_n=

.

Мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса.

a₀ = .

b_n =

.

Ответ: . В точках разрыва               x= 1 + 6k,   k= 0, ± 1, ± 2, …    сумма ряда равна  8.

4.  Представить функцию f(x) = x²,    –4£x£4,  рядом Фурье в комплексной форме.

Решение. Если f(x) – периодическая функция с периодом T= 2ℓ, то представление задаётся  формулой:

,     где      .

В нашем случае T= 8, ℓ = 4. При вычислении интегралов можно обращаться с комплексной константой i так же, как с действительными числами. Обоснование этих действий будет дано позже, при изучении комплекснозначных функций. Если появляются какие–либо затруднения в работе с функцией e^ij, следует обращаться к формуле Эйлера:

e^ij= cos j+ i sin j.

Найдём коэффициенты  c_n:

c_n =

.

При  n= 0  требуется отдельное вычисление:

c₀=.

Получаем, подставляя в общую формулу:

.

5.  Представить интегралом Фурье непериодическую функцию

Решение. Ясно, что функция абсолютно интегрируема на всей оси и на любом конечном промежутке разлагается в ряд Фурье (т.е. выполнены условия теоремы Дирихле). Значит, её можно представить интегралом Фурье:

, где               .

Так как f(x) не является чётной или нечётной, то придётся вычислять и A(w), и B(w).

;

;

Запишем ответ:

.