Обзор основных характеристик векторных полей

Если известно, что поле (P,Q,R) потенциально (т.е. Pdx+Qdy+Rdz является полным дифференциалом), то его потенциал U(x,y,z) находится в точности так же, как и для плоского поля:

U(x, y, z)  =Pdx+Qdy+Rdz,

Причём интегрировать удобно по ломаной, звенья которой параллельны координатным осям.

В то же время признак полного дифференциала (теорема 4) сформулирован и доказан исключительно для плоского случая. Чтобы получить аналогичный результат для трёхмерного векторного поля, нам потребуется понятие поверхностно–односвязной области. Область в пространстве называется поверхностно–односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, найдётся поверхность, ограниченная этим контуром и также целиком лежащая в области.

Поверхностно–односвязные области         Области не поверхностно–односвязные

Как и в случае плоской односвязной области, можно определение дать по–другому: область в R³ является поверхностно–односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в ней, можно, непрерывно изменяя, стянуть в точку, оставаясь в пределах области.

Теперь сформулируем и докажем признак потенциальности векторного поля.

Теорема 6. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно в каждой точке поверхностно–односвязной области E. Тогда

Pdx+Qdy+Rdz – полный дифференциал Û , , .

Или, на языке теории поля:

Поле =P+Q+Rпотенциально     Û      rot =.

Доказательство.

« Þ ». Допустим, Pdx+Qdy+Rdz  =dU. Это значит, что P=, Q=,   R=. Следовательно , .  По  теореме  о  равенстве  смешанных частных производных, получаем: . Аналогично проверяются соотношения , .

« Ü ». Пусть теперь rot =. Возьмём любой замкнутый контур L, лежащий в E. Рассмотрим поверхность S, ограниченную контуром L и также лежащую в области E (для существования такой поверхности и требуется, чтобы область E была поверхностно–односвязной). Применим теорему Стокса:

Pdx+Qdy+Rdz=.

Так как rot =, то получаем, что Pdx+Qdy+Rdz= 0. Теоремы 2, 3 (справедливые, как отмечалось, и для пространственного случая) показывают, что поле        =P+Q+Rпотенциально.

12.3   Обзор основных характеристик векторных полей

Мы уже познакомились с несколькими характеристиками векторного поля – циркуляцией, потоком, ротором. Рассмотрим здесь ещё одну величину – дивергенцию.

Пусть  векторное поле в некоторой пространственной области. Пусть S – замкнутая поверхность, E – часть пространства, ограниченная поверхностью S. Рассмотрим поток поля  через поверхность S:

P= (, ) ds.

Здесь  – единичный вектор внешней нормали к поверхности. Чтобы лучше понять дальнейшие рассуждения, будем считать, что  – поле скоростей частиц жидкости. Если поток через замкнутую поверхность S больше нуля, можно представить, что жидкость «возникает» в некоторых точках E, имеются «источники». Если же поток меньше нуля, то в некоторых точках E жидкость «исчезает», имеются «стоки». Считая, что в области E имеются как «источники», так и «стоки», можно интерпретировать поток P как суммарную мощность «источников» и «стоков» (мощность «стоков» считается отрицательной).

Пусть V(E) – объём области E. Тогда отношение  естественно назвать средней мощностью (или плотностью) «источников» и «стоков» в области E.

Пусть M – какая–либо точка E. Вычисляя плотность «источников» и «стоков» во всё меньших окрестностях точки M, можно перейти к пределу при E®M (при этом         V(E) ® 0, конечно). Мы получим плотность «источников» и «стоков» в точке M. Эта величина называется  дивергенцией  поля    в точке M:

div =.

Теорема 7. Если =P+Q+R, причём функции P, Q, R непрерывны и имеют непрерывные частные производные 1–го порядка, то в любой точке

div = .

Доказательство. Пусть M₀ – произвольная точка, E – какая–либо область, содержащая M₀, S – поверхность, ограничивающая E. По теореме Гаусса – Остроградского

(, ) ds = dxdydz.

Воспользуемся теоремой о среднем для тройного интеграла

(, ) ds =× V(E).

Здесь M – некоторая точка в E, V(E) – объём E. Перейдём к пределу при E®M₀, учитывая, что при этом

®

следует из непрерывности частных производных). Получим

div(M₀) == , что и требовалось доказать.

Заметим, что представление поля  в виде =P+Q+R зависит от выбора системы координат. При изменении системы координат то же самое поле  будет задаваться другими функциями P, Q, R.

Мы могли бы дать более простое определение дивергенции, сразу называя дивергенцией величину . Однако тогда было бы неясно – зависит ли дивергенция от системы координат? Определение дивергенции с помощью предела (т.е. как «плотности источников и стоков») инвариантно относительно выбора системы координат.