Обзор основных характеристик векторных полей, страница 2

Можно доказать, что ротор, как и дивергенция, тоже является характеристикой самого поля и не зависит от системы координат (хотя в данном выше определении ротора участвуют функции P, Q, R). Независимость от системы координат циркуляции и потока следует сразу из определений, если записать подинтегральные выражения через скалярное произведение:

циркуляция:       ;                 поток:    (, ) ds.

Мы  подробно  рассмотрели  свойства  векторного  поля,   у  которого  rot =  в каждой точке – это потенциальное поле. Теперь пусть векторное поле  таково, что          div= 0  в каждой точке. Такое поле называется соленоидальным, или трубчатым. Ясно, что соленоидальное поле не имеет ни «источников», ни «стоков». Поток такого поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Если  – произвольное векторное поле, то  rot – соленоидальное поле. Действительно,

div (rot) =  = 0.

Оказывается, справедливо и обратное: любое соленоидальное поле является полем ротора. Итак, можно доказать, что

 – соленоидально     Û       $:  =rot.

Укажем (также без доказательства), что любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей:

"   $ – потенциальное, $ – соленоидальное:

 = +.

Наконец, возможен случай, когда поле является одновременно и потенциальным, и соленоидальным. Такие векторные поля называются гармоническими, их изучение связано с изучением гармонических функций. Функция U=U(x,y,z) называется гармонической, если    = 0.

Теорема 8. Векторное поле  – гармоническое Û его потенциал – гармоническая функция.

Доказательство.  Пусть  U – потенциал  , т.е.  =gradU==.  Тогда:          – гармоническое Û

Û   div= 0   Û   = 0  Û   = 0.

В заключение раздела рассмотрим удобный для работы с векторными полями способ записи – с помощью символического оператора Гамильтона

Ñ=.

Знак Ñ читается «набла». Оператор «набла» можно «умножать» на скалярную функцию (вычисляя от неё частные производные), «умножать» скалярно и векторно на векторную функцию по обычным правилам векторной алгебры.

Используя оператор Гамильтона, приведём краткую и удобную запись для основных характеристик скалярных и векторных полей:

ÑU = = grad U;

(Ñ, ) =(, P + Q + R) == div ;

[Ñ, ] = =rot.

Применяя оператор «набла» повторно, можно вычислять и более сложные величины:

(Ñ, ÑU) = div (grad U),

[Ñ, ÑU] = rot (grad U),

Ñ×(Ñ, ) = grad (div ),

(Ñ,[Ñ, ]) = div (rot ),

[Ñ,[Ñ, ]] = rot (rot ).

Впрочем, как мы уже знаем, всегда

rot (grad U) =,                  div (rot ) = 0.

Скалярный квадрат оператора Ñ называется  оператором Лапласа  D:

D= (Ñ,Ñ) =.

Гармонические функции, с которыми мы уже встречались, можно определить как функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа:  DU= 0.

12.4  Задачи с решениями

1. Найти циркуляцию векторного поля        = (x–y–z)+ 3z+ (2x–y)

вдоль линии L пересечения поверхностей 4z=x²+ 4y²,  z= 1. Направление обхода – против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 2).

Решение. Линия пересечения – эллипс, лежащий в плоскости z= 1. Его уравнение имеет вид: 4 =x²+ 4y²,  z= 1. Или: +y²= 1,  z= 1. Зададим этот эллипс параметрически:

x = 2cos t,    y = sin t,    z = 1;  t Î [0, 2p].

Циркуляцию вычисляем, сводя криволинейный интеграл к интегралу по параметру t:

(x–y–z)dx+ 3zdy+ (2x–y)dz=

= [(2cos t – sin t – 1) (– 2sin t) + 3cos t + 0]dt =

= (– 4cos t sin t + 2sin²t + 2sin t + 3cos t) dt =

=– 4sin t d(sin t) + 2dt – 2cos t+ 3sin t=

=– 4 + (t–= 2p.

2. Найти функцию U(x, y), если известен её дифференциал: dU=.

Решение. Доказывая теорему 2, мы видели, что U(x, y)  можно найти по формуле:

U(x, y) = dU.

Начальная точка может быть произвольной – функция U(x, y) определяется с точностью до постоянного слагаемого. Интегрировать можно по любому пути, так как интеграл от полного дифференциала не зависит от пути.

Возьмём в качестве начальной точки (0, 0), интегрировать будем по ломаной.

U(x, y) == =

=  ==

=– 1 +  – =  +C.

3. Проверить, что поле

является потенциальным и найти его потенциал.

Решение. Для проверки потенциальности поля вычислим его ротор:

rot = =

=.

Значит, поле потенциально. Найдём потенциал по формуле

U(x, y, z) =.

Интегрируем по ломаной:

U(x, y, z) =– +

+=x²z³++C.

4. Вычислить поверхностный интеграл

ydxdz+ (1 +xz)dydz, где  S¢– верхняя сторона части цилиндрической поверхности

x² + z² = 1,    x ³ 0,    0 £ y £ 3.

Решение. Сделаем чертёж. Поверхность удобно проецировать на плоскость YOZ, поэтому будем вычислять интеграл, сводя его к двойному интегралу по переменным y, z. Уравнение S:  ;    элемент поверхности:     .