Элементы теории векторных полей. Потенциальное векторное поле

12    ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

12.1 Потенциальное векторное поле

12.1.1 Основные понятия.В разделе 10.5 мы познакомились с понятием скалярного поля: с каждой точкой некоторой области (на плоскости или в пространстве) связывается числовая величина. Если ввести систему координат, то задание скалярного поля равносильно заданию функции  U(x,y)  или  U(x,y,z).

Пусть теперь в каждой точке M области E (на плоскости или в пространстве) определён вектор (M). В таком случае будем говорить, что в области Eзадано векторное поле. Примерами векторных полей могут служить поле скоростей жидкости, поле, создаваемое электрическими зарядами, гравитационное поле и т.д.  Если в области E введена система координат, то каждый вектор может быть задан своими координатами:

(M) =(x,y,z) =P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z).

Для плоского поля координата R(x,y,z), конечно, отсутствует.

Линия Г в области E называется векторной линией, если в каждой её точке направление вектора поля совпадает с направлением касательной. Если (M) – поле  какой–либо силы (силовое поле), то векторные линии также называются силовыми линиями. Можно доказать, что если функции P,Q, R имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то через каждую точку области проходит векторная линия, причём векторные линии не пересекаются.

Пусть в области E задано скалярное поле U(x,y,z). Тогда в каждой точке E определён вектор

gradU=.

Получили векторное поле – поле градиента. Это очень важный пример векторного поля, поэтому вводится специальное понятие. Векторное поле  называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторой скалярной функции U:

 = gradU.

В этом случае функция U=U(x,y,z) называется потенциалом поля . Мы должны научиться выяснять, является ли поле потенциальным, и находить его потенциал. Для этого потребуется рассмотреть новый тип криволинейных интегралов.

12.1.2 Криволинейные интегралы 2 рода. Пусть в каждой точке M области           EÍR² задан вектор силы (M) =P(M)+Q(M) (т.е. плоское силовое поле). Рассмотрим линию Г, лежащую в E, и поставим задачу: вычислить работу, которую совершает сила (M),  перемещая точку по кривой Г.  Разобьём  Г  на  n частей:

Г = Г₁ È Г₂ È...È Г_n.

Выберем произвольно точки M_iÎ Г_i. Допуская некоторую погрешность, будем считать, что сила на Г_i постоянна и равна F(M_i) – силе в выбранной точке. Также допуская погрешность,  заменим перемещение по Г_i прямолинейным перемещением  (вектор, направленный из начала Г_i в конец Г_i). Работа постоянной силы на прямолинейном  пути, как известно из школьного курса физики, вычисляется так:

∆A_i=| (M_i) |×| |cosa, где a – угол между векторами (M_i), . Обозначая координаты вектора  = (∆x_i,  ∆y_i), можно записать  ∆A_i  с помощью скалярного произведения:

∆A_i= ((M_i), ) =P(M_i)∆x_i+Q(M_i)∆y_i.

Суммируя, получаем приближённую формулу для работы:

A».

Ошибка этого равенства уменьшается, если рассматривать всё более мелкие разбиения Г. Переходя к пределу, получим:

A =, где d= max ||.

Пределы такого вида очень важны для приложений. Поэтому сформулируем общее определение. Пусть (M) =P(M)+Q(M)– векторное поле в области E, Г – гладкая кривая в E. Разбивая Г, выбирая точки M_i, составляя сумму и переходя к пределу так, как при решении задачи о работе, назовём полученный предел (не зависящий ни от вида разбиений, ни от выбора точек) криволинейным интегралом 2 рода от векторной функции (M) по кривой Г:

Pdx+Qdy=.

В точности так же определяется и криволинейный интеграл для пространственного векторного поля

Pdx+Qdy+Rdz.

Для вычисления криволинейного интеграла рассмотрим случай, когда кривая Г задана параметрически:

x = x(t),     y = y(t),     t Î [a, b].

Разбиению Г соответствует разбиение отрезка [a,b] точками t₀=a, t₁, t₂, ... , t_n=b. Выбранным точкам M_iÎ Г_i соответствуют x_i Î [t_i,t_i–1]. Пользуясь дифференцируемостью функций  x(t),  y(t)  и теоремой Лагранжа, можно записать:

Dx_i = x(t_i) – x(t_i–1) = x¢(μ_i)Dt_i,Dy_i = y(t_i) – y(t_i–1) = y¢(ν _i)Dt_i.

Интегральная сумма приобретает вид:

.

Она отличается от интегральной суммы Римана (для функции                                                P(x(t),y(t))x¢(t) +Q(x(t),y(t))y¢(t) на [a,b]) лишь тем, что точки x_i, m_i, n_i различны, хотя и лежат на одном участке разбиения Dt_i. При неограниченном измельчении разбиений это отличие стремится к нулю (строгое доказательство – с помощью равномерной непрерывности). Поэтому, переходя к пределу, получим:

Pdx+Qdy=[ P(x(t),y(t))x¢(t) +Q(x(t),y(t))y¢(t)]dt.

Аналогичная формула справедлива и для интеграла Pdx+Qdy+Rdz.

Если плоская кривая Г является графиком функции y=y(x),   xÎ [a,b], то, рассматривая x как параметр, получаем:

Pdx+Qdy=[ P(x,y(x)) +Q(x,y(x))y¢(x)]dx.

Иногда удобнее рассматривать Г как график функции x=x(y), yÎ [c,d]. В этом случае

Pdx+Qdy=[ P(x(y),y)x¢(y) +Q(x(y),y)]dy.

Пример 1. Вычислить    I=(x+y)dx + (x–y)dy+ (x+y+z)dz,    если   Г – один виток винтовой линии   x=cost,y=sint,  z=t,      tÎ [0, 2p].

Решение. Так как  dx=–sintdt,  dy=costdt,dz=dt,   то получаем:

I=[(cost+sint)(–sint) + (cost–sint) cost+ (cost+sint+t)]dt=

=  (– sin² t – cos² t – 2sin t cos t + cos t + sin t + t)dt =

=–dt – 2sin t d(sin t) +(cos t + sin t + t)dt =

= (– t – sin² t + sin t – cos t + )=– 2π += 2π² – 2π.

Пример 2. Вычислить (x–y)dx + 3x²dy, если а) AB – отрезок прямой, соединяющий точки  A(1, 0),  B(0, 1);

б) AB – дуга параболы  y= 1 –x²,  соединяющая те же точки.

Решение. а) Прямая, проходящая через точки A,B, имеет уравнение y= 1 –x. Значит dy=–dx. На отрезке ABx изменяется от 1 до 0. Криволинейный интеграл сводится к интегралу по x: