Элементы теории векторных полей. Потенциальное векторное поле, страница 2

(x–y)dx+ 3x²dy=(x– 1 +x+3x²(–1))dx=(2x– 1 – 3x²)dx=

= (x²–x–x³) =– (1 – 1– 1) = 1.

б) Из  уравнения  y= 1 –x²  находим:  dy=– 2xdx.  Значит

(x–y)dx+ 3x²dy=(x– 1 +x²– 6x³)dx=

= (–x+–) =– (– 1 +–) =.

Среди свойств криволинейного интеграла 2 рода необходимо подчеркнуть то, что при изменении направления интегрирования (как говорят, при изменении ориентации кривой) интеграл меняет знак:

Pdx+Qdy=–Pdx+Qdy.

Действительно, при определении интеграла в составлении интегральной суммы участвует вектор перемещения   = (Dx_i, Dy_i).  Если изменить направление интегрирования, то этот вектор, а вместе с ним и сумма, и интеграл, изменят знак на противоположный. (Напомним: при вычислении криволинейного интеграла 1 рода направление интегрирования не имеет значения).

Из определения сразу следует, что криволинейный интеграл 2 рода обладает свойством линейности (интеграл от линейной комбинации векторных функций равен сумме интегралов с соответствующими коэффициентами) и аддитивности (если Г = Г₁ È Г₂, причём  Г₁ Ç Г₂ =Æ,  то интеграл по Г равен сумме интегралов по Г₁ и Г₂). Разумеется, все эти свойства справедливы как для плоского, так и для пространственного случая.

Если кривая Г замкнута, то криволинейный интеграл обозначается символом Pdx+Qdy  и  называется циркуляцией векторного поля = (P,Q) по замкнутому контуру Г. При этом положительным направлением обхода кривой Г считается то, при котором область, ограниченная Г, остаётся слева. При вычислении циркуляции           Pdx+Qdy+Rdz   по пространственной кривой Г направление интегрирования каждый раз следует указывать.

12.1.3 Формула Грина. При вычислении двойных интегралов мы рассматривали области на плоскости, правильные в направлении данной оси. Расширим это понятие: область E на плоскости называется простой, если её можно разбить кусочно–гладкими кривыми как в объединение областей, правильных в направлении OX, так и в объединение областей, правильных в направлении OY.

Теорема 1 (теорема Грина). Пусть E – простая область, Г – её граница. Пусть функции  P(x,y),  Q(x,y),,    непрерывны на  E.   Тогда

Pdx+Qdy=(–)dxdy.

(Интегрирование по Г ведётся в положительном направлении).

Доказательство. Пусть сначала E – область, правильная по оси OY (см. рисунок). Тогда

dxdy=dxdy=

= P(x, y₂(x)) – P(x, y₁(x))dx.

Заметим, что интеграл P(x,y₂(x))dx, можно заменить криволинейным (в соответствии с правилом вычисления криволинейных интегралов 2 рода):

P(x, y₂(x))dx  = P(x, y)dx  = –P(x, y)dx.

Аналогично:P(x,y₁(x))dx=P(x,y)dx.     Интегралы по вертикальным отрезкам BC  и  DA  равны нулю, так как здесь    x=const,   dx= 0:

P(x, y)dx = 0 ,        P(x, y)dx = 0.

Используя все эти соотношения, получаем:

dxdy=P(x,y₂(x))dx–P(x,y₁(x))dx=

=–P(x,y)dx–P(x,y)dx–P(x,y)dx–P(x,y)dx=–P(x,y)dx.

Обратите внимание: интегрирование ведётся в положительном направлении.

Докажем теперь, что формула dxdy=–P(x,y)dx справедлива для любой простой области E. Для этого разобъём E кусочно–гладкими кривыми: E=E₁ÈE₂ È...ÈE_n, так, что все E_i – правильные по направлению OY. Для каждой области E_i справедливо: dxdy=–P(x,y)dx. Сложим эти равенства по всем элементам разбиения. В левой части, пользуясь аддитивностью, получим dxdy. В правой части интегрирование по любому участку линии разбиения ведётся дважды, в противоположных направлениях. Значит, криволинейные интегралы по линиям разбиения сокращаются, остаётся интеграл по внешней границе:

dxdy =–P(x, y)dx, что и требовалось доказать.

В точности  так же доказывается, что для любой простой области E справедливо

dxdy =Q(x, y)dy.

(Отличие  лишь  в  том, что придётся разбивать  E на области, правильные в направлении оси OX).

Складывая доказанные равенства, получаем формулу Грина: