Геометрические и физические приложения интегралов

Пример 11. Найти статический момент однородной  ( r= 1 ) плоской пластинки, ограниченной линиями  y = sinx,  y = 0  (0 £ x £ p),  относительно оси  OY.

Решение.   Элемент  пластинки,  имеющий   координаты  (x, y), имеет площадь dxdy, массу rdxdy, статический момент относительно OY: xrdxdy. Интегрируя, найдём момент всей фигуры:  

.

Центром масс фигуры на плоскости называется такая точка, что если в ней сосредоточить всю массу, то статические моменты этой точки относительно координатных осей будут равны статическим моментам фигуры. Из определения легко следуют формулы для координат центра масс. Например, для плоской фигуры:

 ,

Для фигуры, расположенной в трёхмерном пространстве (тело, поверхность или кривая), статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. С их помощью, аналогично плоскому случаю, вводится понятие центра масс. Пусть M, M_XOY, M_XOZ, M_YOZ – масса и статические моменты относительно соответствующих плоскостей. Тогда координаты центра масс, например, материального тела Т вычисляются так:

,

,

.

Для статических моментов и координат центра масс кривой или поверхности формулы те же, меняется лишь тип интеграла.

Пример 12. Найти координаты центра масс тонкого стержня L, расположенного по отрезку прямой  x= 2t,  y= 3t,  z= t,  tÎ[0, 1],   если плотность   r(x,y,z)= x+y+z.

Решение. Так как объект – линия в пространстве, то используется криволинейный интеграл. Найдём массу стержня:

.

Найдём статические моменты относительно координатных плоскостей:

,

,

.

Теперь находим координаты центра масс:

.

Ещё одно важное применение интегралов в механике – вычисление моментов инерции. Моментом инерции материальной точки с массой m относительно некоторой оси называется величина  J = md²,  где d– расстояние до оси. Для системы точек момент инерции определяется как сумма  . Если же масса не сосредоточена в отдельных точках, а распределена на некоторой фигуре, то определение даётся с помощью интеграла (по этой фигуре) от функции  rd² (r–плотность в текущей точке, d – расстояние от этой точки до оси). Например, пусть требуется найти момент инерции тела Т относительно оси OZ. Элемент тела с координатами (x,y,z)  имеет массу  r(x,y,z)dxdydz.  Его расстояние от оси OZ равно  .  Значит, момент инерции равен      .

Можно рассматривать момент инерции относительно точки (полярный момент инерции) или относительно плоскости. В этом случае  d– расстояние до соответствующего объекта.

Пример 13. Найти момент инерции однородной (rº1) поверхности параболоида  S: 2y= x²+z², 0£y£2, относительно оси  OY.

Решение. Рассматривается поверхность, поэтому будем применять поверхностный интеграл. Элемент поверхности с координатами (x,y,z) имеет массу r(x,y,z)ds= ds, его расстояние до оси  OY  равно . Следовательно, момент инерции равен:

.

Будем вычислять поверхностный интеграл, проецируя поверхность на плоскость XOZ. Проекция есть круг  x²+z²£4. Далее,  так  как   ,    то     , ,    ds=dxdz=dxdz.  Вычисления удобно проводить в полярной системе координат:

11.6  Задачи с решениями

1.  Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

Решение.Изобразим область, по которой проводится интегрирование. В первом слагаемом  0 £ x £ 2,  а   y   изменяется от  y = 0  (прямая) до  y = x²   (парабола). Во втором слагаемом  2£ x £4,    y   изменяется от   y = 0  (прямая) до  y = 8– 2x (прямая).  Вся область – объединение этих двух частей. Меняя порядок интегрирования, видим, что x изменяется от параболы (на ней  ) до прямой ( на ней    ). Пределы внешнего интегрирования   (по y) постоянны:  0£ y £ 4.  Итак, изменение порядка интегрирования позволило заменить сумму одним интегралом:

.

2.  Вычислить  ,  где область  E  ограничена одним лепестком лемнискаты Бернулли   (x²+y²)²= 2(x²–y²),  соответствующим  x³0.

Решение.Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат (подставляя  x= rcosj,  y= rsinj  ):

r⁴ = 2(r²cos²j–r²sin²j),

r² = 2cos2j,            т.е.      .

Теперь легче построить кривую. Обратим внимание, что в пределах указанного лепестка угол   j  может принимать значения от    до  . Вычисляем интеграл, переходя в полярную систему координат:

3.  Вычислить ,  если тело  T  ограничено поверхностями   z = 0,   3y+z = 9,   y = x²–1.

Решение.Сделаем чертёж. Поверхность  y = x²–1  –  цилиндрическая, направляющей является парабола, образующие параллельны оси  OZ. Плоскость  3y+z = 9  ограничивает тело сверху, плоскость  z = 0  – снизу. Интегрируя по  z,  переходим к двойному интегралу по проекции:    

.