Математика \ Математический анализ

Геометрические и физические приложения интегралов, страница 2

Проекция ограничена параболой y = x²–1 и прямой y = 3 (пересечение плоскостей z = 0 и 3y + z = 9). Интегрируем, например, сначала по y, а затем по x:

Интеграл от 1–го и 3–го слагаемых равен нулю, так как это нечётные функции, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля.

4. Вычислить криволинейный интеграл , если Г – линия пересечения поверхностей x²+y²= 4, x–y+z+5 = 0.

Решение.Плоскость x–y+z+5 = 0 пересекает цилиндр x²+y²= 4. Ясно, что проекция Г на XOY – окружность x²+y²= 4. Возьмём в качестве параметра t полярный угол проекции каждой точки. Тогда x= 2cost, y= 2sint, z= 5–x+y= =5–2cost+2sint, причём 0£t£2p. Вычислим dL:

Переходим к интегралу по параметру t:

5. Вычислить объём тела Г, ограниченного поверхностями z = 2–x–y, 2z = 4–x²–y².

Решение.Найдём проекцию линии, по которой плоскость z=2–x–y пересекает параболоид 2z = 4–x²–y². Для этого исключим переменную z: 4–x²–y²= 2(2–x–y). После простых преобразований получим уравнение (x–1)²+(y–1)²= 2, которое задаёт окружность радиуса , с центром (1, 1). Ясно, что проекция тела Т на плоскость XOY ограничена этой окружностью. Проведём интегрирование по z.

Удобнее вычислять этот интеграл в полярной системе координат. Уравнение окружности имеет вид:

x²–2x+y²–2y= 0,

x²+y²= 2(x+y),

r²= 2r(cosj+sinj),

r= 2r(cosj+sinj).

Правая часть этого уравнения положительна при . Из рисунка также видно, что угол j изменяется в этих пределах. Вычисляем интеграл:

6. Найти массу части поверхности x²+y²–z²= 1, вырезанной плоскостями x = 2z, x = –2z, , если плотность r(x,y,z)=| y |.

Решение. Поверхность является однополостным гиперболоидом. Плоскости вырезают из неё 2 симметричных куска, проекция каждого из них на плоскость XOZ есть треугольник D. Следовательно

Вычислим ds: , ,

Заканчиваем вычисление:

7. Найти координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной линиями x²+y²= 5, xy = 2 (x > 0), если плотность r(x,y)= xy.

Решение.Так как фигура симметрична относительно прямой y = x, а плотность в симметричных точках совпадает, то центр масс лежит на прямой y = x. Найдём сначала массу.

Теперь найдём статический момент относительно какой–либо координатной оси. Например,

Пользуясь симметрией находим:

8. Гравитационным потенциалом, который создаёт материальная точка массой m в некоторой точке P называется величина , где r – расстояние от материальной точки до P, G – гравитационная постоянная. Потенциал обладает свойством аддитивности. С помощью интегралов соответствующих типов можно вычислять потенциал, который создаёт в данной точке материальное тело, поверхность, кривая или плоская фигура.

Решим задачу: найти потенциал силы тяготения, создаваемый конусом высотой H и радиусом R в его вершине, если плотность пропорциональна квадрату расстояния до вершины.

Решение.Выберем систему координат так, чтобы вершина конуса была в начале координат, а его ось совпадала с осью OZ. Уравнение поверхности такого конуса имеет вид: x²+y²= az². В пересечении с плоскостью z= H должна получиться окружность радиуса R:

Итак, конус ограничен поверхностью и плоскостью z= H. По определению, потенциал конуса Т равен

Будем вычислять полученный тройной интеграл в сферической системе координат. Формулы перехода: x = rcosqcosj, y = rcosqsinj, z = rsinq, dxdydz = r²cosqdrdjdq. Уравнение z = H принимает вид: rsinq= H, поэтому . Пусть a – угол наклона образующей конуса. Тогда:

Так как , то .

11.7 Упражнения для самостоятельной работы

1. В двойном интеграле перейти к повторному интегралу, расставить пределы интегрирования, если область E: а) есть треугольник с вершинами A(0, 0), B(–1, 1), C(–1, –1);