Геометрические и физические приложения интегралов, страница 3

а) ;  x= 1,  y= 0,  y= 2x,  z= 3x²+6y²; б) ;  x= 0,  y= 0,  y= 2x,  z= 0,  2x+3y+5z= 1;

в) ;   z= 0,   ,   ;

г) ;    x⁴+2x²y²+y⁴ = 2xy,   0£z£xy,  0£y£x;

д) ;   ,   z= 0;

е) ;    x²+y²+z² = 4,   .

5. Вычислить криволинейные интегралы:

а) ;  Г  – отрезок прямой от точки  (–1, 1)  до точки  (2, 7);

б) ;    Г  – кривая   y= lnx,   ;

в) ;  Г  – арка циклоиды   x= t–sint,  y= 1–cost,  ;

г)  ;  Г – первый виток логарифмической спирали  r = 3e^j,   0 £ j£ 2p;

д) ;  Г – дуга конической винтовой линии:

x = tcost,  y = tsint,  z = t;    0 £ t £;

е);  Г – часть линии пересечения поверхностей z = x²+y², x+y=1,  лежащая между плоскостями  x = 0  и   x = 0,5  ;

6. Вычислить поверхностные интегралы.

а), S – часть плоскости 2x+3y+z=5, лежащая внутри цилиндра  x²+y²=4;

б)   ,   S – часть поверхности    ,  вырезанная поверхностями  x = 0,  z = 0,  x+3z = 6;

в)  ,  S  – часть поверхности  ,  лежащая внутри цилиндра  y²+z² = 2y;

г)  ,  S  – часть поверхности   x²+y² = 1,  0 £ z £ 6.

7. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной а) линиями  x = 0,  y = 8,  x² = 4y,  xy = 16;             б) линией   (x²+y²)² = a²x²+b²y²;

в) линией   (при  x>0,  y>0)  и осями координат;

г) линией   x²+y² = 5,  касательной к ней в точке  (1, 2)  и осью  Ox.

8. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x²+y²,  y = x²,  y = 1,  z = 0;                           б)  4z = x²+z²,  y = z,  y = 2z;

в)  3x+2y = 6,  z = 2x²,  y = 0,  z = 0;         г)  x²+y²+z² = 6z,  x²+y² = z²  (внутри конуса).

9. Найти длину:

a)  участка цепной линии  , xÎ[–1, 1];

б)  астроиды x= acos³t,   y= asin³t,   t= [0, 2p];

в) части линии  x= e^tcost,  y= e^tsint,  z= e^t, лежащей внутри цилиндра  x²+y²=1.

10. Найти площадь:

а) части поверхности z= 2–x²–y², лежащей выше плоскости z= 0;

б) части поверхности  y² = 2z,  вырезанной поверхностями  , x= 0,  z= 1;

в) части поверхности  x²+y²+z² = 9, лежащей внутри цилиндра  4x²+9y² = 36;

г) части плоскости  x+2y–5= 0,  расположенной между плоскостью z= 0  и поверхностью  z= 25–x–y².

11. Найти массу кольца между окружностями радиусов  R  и  r,  если плотность пропорциональна расстоянию от центра.

12. Найти массу тела, ограниченного поверхностями  z= x²+y²,  z² = x²+y²,  если плотность пропорциональна аппликате точки.

13. Найти массу верхней полусферы  x²+y²+z² = R²,  z³0,  если поверхностная плотность в каждой точке равна сумме координат этой точки.

14. Найти массу линии r= 2sinj, если плотность пропорциональна квадрату расстояния точки от полюса.

15. Найти статический момент относительно прямой  y= 1  плоской фигуры, ограниченной линиями x= 0,  y= 1,  ,  если   r(x,y) = x.

16. Найти статический момент относительно плоскости  XOZ  части однородной линии пересечения поверхностей  z² = x²+y²,  x+z= 1,  лежащей в 1–ом октанте.

17.  Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры ограниченной линиями  y= lnx,  y= 0,  x= e.

18.  Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями  y= 1–x²–z²,   y= 0.

19.  Найти координаты центра масс части поверхности  z= xy,  вырезанной плоскостями x= 0,  y= 0,  x+y= 1,  если плотность  .

20.    Найти  координаты  центра  масс  одного  витка  винтовой   линии  x= acost,  y= asint,  z= bt,  0£t£2p, если плотность  r(x,y,z)= z.

21.  Найти момент инерции однородного круга радиуса  R  относительно его касательной.

22.  Найти момент инерции однородной окружности радиуса  R  относительно её диаметра.

23.  Найти момент инерции шара относительно его диаметра, если плотность пропорциональна расстоянию от центра.

24.  Найти потенциал силы тяготения, создаваемый однородным контуром квадрата со стороной   a  в его центре.

25.   Найти  потенциал силы тяготения, создаваемый однородной поверхностью  x²+y² = 1+z²,   –1£z£1  в начале координат.

11.8   Образец теста

(для дистанционной формы обучения).

1.  Вычислить массу плоской фигуры, ограниченной линиями y= 1–|x|,  y = 0,  если плотность   r(x,y) = 6|x|.

2.  Найти объём части шара  x²+y²+z² £ 1,  лежащей внутри цилиндра  x²+y² = 1. Ответ округлить до сотых.

3.  Вычислить   криволинейный интеграл         по   дуге  гиперболы  xy = 2  от точки  (1, 2)  до точки  (2, 1).

4.  Найти площадь той части плоскости  3x+4y+12z+7= 0,  которая проецируется на прямоугольник  [1, 7]´[2, 6].

5.  Момент инерции тела  Т  (плотность  r(x,y,z)=1) относительно оси  OY  равен  1); 2); 3); 4). Указать номер правильного ответа.

6.  Пусть  S – сфера  x²+y²+z² = 9,   S_XOY – её проекция на плоскость XOY.  При каком   k  справедливо равенство     ?