Робастное управление интервальными динамическими системами. Модели интервальных динамических систем

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ

ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Введение. Определяющим свойством систем с неточно заданными параметрами (интервальных систем) является размытость границ множества начальных состояний и множества возможных траекторий. Системы такого класса представляют интерес не только в силу обилия новых математических проблем, но и в связи с широкими приложениями теории управления сложными системами.

История проблемы робастности основных динамических характеристик по отношению к различным возмущениям восходит к трудам отечественных ученых А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина [1]. К настоящему времени разработан богатый спектр методов, обеспечивающих инвариантность характеристик систем по отношению к параметрическим возмущениям, на основе вариационного подхода (введение обратных связей по функциям чувствительности) [2, 3], введения контуров с бесконечно большим коэффициентом усиления [4], организации скользящих режимов [5].

В настоящей статье рассматривается решение задачи робастной стабилизации и оптимизации систем с параметрическими возмущениями, которые определяются изменениями элементов матриц, описывающих динамику объекта. Развивается подход к формированию достаточных условий устойчивости непрерывных систем и синтезу стабилизирующих управлений с заданной мерой робастности, основанный на применении скалярно-оптимизационной функции множества [6] и интервальной функции Ляпунова [7].

1. Модели интервальных динамических систем. Рассматриваются математические аспекты моделирования динамических систем с интервальной неопределенностью. Специфика такого класса систем заключается в том, что их параметры известны лишь в пределах нижней и верхней границ, т.е. известен интервал их возможных значений.

Пусть математическая модель управляемого объекта имеет вид системы линейных дифференциальных уравнений в форме Коши

,                                                                                      (1)

где - фазовый вектор пространства состояний,  - полная производная векторной функции  по времени;  - входное или управляющее воздействие;  - вещественные матрицы параметров объекта.

Предположим, что элементы матриц  и  точно не известны. Известны лишь их предельные значения, т.е.  и . Тогда математическая модель управляемого объекта будет задаваться системой дифференциальных уравнений с интервальными коэффициентами:

.                                                                                     (2)

Здесь ,  - интервальная матрица, элементами которой являются вещественными интервалами;  - нижняя граница интервальной матрицы ;  - ее верхняя граница;  - множество интервальных матриц размера .

Модель (1) будем называть «точечной» или вещественной моделью исследуемого динамического процесса, а уравнения (2) – интервальной моделью. Таким образом, интервальная модель это множество, образованное «точечными» системами с параметрами из заданных интервалов  и :

.

2. Робастное размещение спектра. Задача размещения спектра матрицы замкнутого контура (задача размещения полюсов передаточной матрицы линейной системы) в заданной области комплексной плоскости является классической задачей теории оптимального управления.

Алгоритмы решения задачи размещения полюсов прошли в своём развитии несколько этапов. В основе методов первого этапа [8, 9] лежат алгоритмы, основанные на приведении матриц, определяющих параметры объекта, к рациональной, например фробениусовой, форме посредством некоторого преобразования подобия. Однако задача вычисления рациональной канонической формы плохо обусловлена уже для матриц небольшой размерности при одном управляющем воздействии, не говоря уже о задачах высокой размерности с векторным управлением.

Решение практических задач модального управления и их использование для проектирования крупномасштабных систем привело к развитию в 1980-е гг. алгоритмов, основанных на ортогональных преобразованиях простейшего вида [10, 11]. Коэффициенты обратной связи вычисляются путем преобразования исходной матрицы к форме Хессенберга или Шура с использованием различных модификаций QR-алгоритма.

Следующий этап развития методов решения задач о размещении полюсов связан с необходимостью придания свойств робастной устойчивости по отношению к параметрическим возмущениям. Синтез модального регулятора в условиях неопределённости параметров объекта управления сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами [12 - 14]. Однако известные методы синтеза модальных регуляторов для интервальных систем могут быть использованы при формировании обратной связи по вектору состояния, когда все его компоненты доступны для измерения.