Робастное управление интервальными динамическими системами. Модели интервальных динамических систем, страница 5

Используя условие стационарности функции  по  , находим искомое управление

.                                   (16)

Соотношение (16) выделяет множество регуляторов, обеспечивающих устойчивость интервальной системы (2).

Чтобы управление (16) было оптимальным по отношению к функционалу (13), матрицу  необходимо определить из условия тождественного равенства нулю функции , которая при выбранной квадратичной форме  и синтезированном управлении определяется соотношением

.

Чтобы функция  была тождественно равна нулю, матрица  должна являться решением интервального матричного уравнения

,                                                             (17)

которое эквивалентно множеству матричных уравнений с вещественными коэффициентами

, а под решением интервального матричного уравнения (17) понимается следующее.

Определение 2.1. Объединенным множеством решений интервального матричного уравнения (17) называется множество:

,                                        (18)

состоящее из решений “точечных” матричных уравнений Риккати

.

Из множества стабилизирующих регуляторов (16) целесообразно выбрать регулятор вида

где  - медиана интервального матричного коэффициента обратной связи ;  - вариации параметров регулятора,  - вариации матричного коэффициента обратной связи,  - ширина интервальной матрицы . Данный регулятор следует трактовать как номинальный регулятор с допуском, при этом  - максимально допустимый разброс параметров номинального регулятора, при котором гарантируется устойчивость и качество замкнутой системы, а  - технически реализуемый допуск на параметры регулятора.

Свойства параметрически возмущенной системы (2) с робастным регулятором (16)

                                                                                         (19)

определяются следующей теоремой.

Теорема 2.1.Пусть:

1) пары матриц  управляемы, а пары матриц  наблюдаемы для всех  и ,  - квадратный корень матрицы ;

2) множества  и ,  параметрических возмущений ,  и ,  удовлетворяют соотношениям:

, ,                           (20)

 ,                          (21)

,                               (22)

,                               (23)

где матрицы ,  - симметричные положительно определенные решения «граничных» уравнений Риккати

                                                                                (24)

.                                                                               (25)

Тогда робастный регулятор (16) обеспечивает устойчивость системы (2) и гарантирует двухсторонние оценки функционала качества (13)

 или                           (26)

при всех вариациях параметров, удовлетворяющих условиям (20) - (23).

Доказательство теоремы 2.1.  При выполнении условий теоремы 2.1 существуют симметричные положительно определенные решения  и  «граничных» уравнений Риккати (24), (25) и для всех , образующих объединенное множество решений (18) интервального уравнения (17), справедливо:  и . Следовательно, интервальная матрица  - симметричная положительно определенная матрица.

Функция  - положительно определенная функция, допускающая бесконечно малый высший предел. Функция  тождественно равна нулю на невозмущенном движении системы (19). Положительная определенность функции  следует из положительной определенности интервальной матрицы   выполнено . Наличие бесконечно малого высшего предела у функции  эквивалентно выполнению неравенств

,                                                                                       (27)

которые следуют из решения спектральной задачи для интервальных симметричных матриц. В качестве функций  и  могут быть использованы функции, заданные через оценки собственных чисел интервальной симметричной матрицы :

,                                                    (28а)

.                                                   (28б)