Робастное управление интервальными динамическими системами. Модели интервальных динамических систем, страница 4

В статье исследуется чувствительность квадратичного функционала в системах с ограниченной неопределенностью параметров. Задача синтеза управлений, гарантирующих двухсторонние оценки функционала качества, решается на основе достаточных условий оптимальности непрерывных процессов [33], которые с использованием интервальных функций Ляпунова обобщены на случай систем с параметрическими возмущениями [34].

Пусть цель управления состоит в минимизации квадратичного функционала

                                       (13)

при динамических ограничениях (2). Значения функционала (13), вычисленные вдоль траекторий замкнутой системы, при всех  и  должны удовлетворять двухстороннему неравенству  или принадлежать заданному интервалу .

Для решения задачи динамической оптимизации воспользуемся достаточным условием оптимальности непрерывных процессов, в соответствии с которым для оптимальности допустимого процесса ,  достаточно существование функции , обладающей следующими свойствами:

1) функция  - допускает бесконечно малый высший предел;

2) функция  - удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби - Беллмана.

При синтезе управлений, обеспечивающих устойчивость и заданный уровень качества систем с ограниченной неопределенностью параметров, могут использоваться два подхода, широко распространенных в интервальном анализе. Первый подход связан с рассмотрением интервальных математических объектов (матриц, функций, уравнений и т.д.) как множеств, элементами которых являются соответствующие “точечные” объекты (объекты с вещественными коэффициентами). При этом необходимые действия выполняются над точечными объектами с последующим объединением результатов.

Данный подход используется на первой стадии синтеза - этапе выделения множества стабилизирующих регуляторов. Вторая стадия синтеза - определение параметров робастного регулятора - связана с решением интервального матричного уравнения. На этой стадии подход, связанный с рассмотрением интервального объекта как множества точечных объектов, требует решения континуума алгебраических уравнений Риккати с вещественными коэффициентами. Для преодоления возникающих на этом пути трудностей задача нахождения поточечного или объединенного множества решений интервального уравнения трансформируется в задачу определения аппроксимирующего множества решений, которая в традиционных рамках интервального исчисления решается с помощью построения двухсторонних неравенств.

Обобщение достаточных условий оптимальности на случай систем с ограниченной неопределенностью параметров основано на замене функции Ляпунова  ее естественным интервальным расширением:  -интервальной функцией Ляпунова. Обозначим через  - воронку интегральных линий с вершиной в точке , определяемую множеством отрезков  решений  системы (2), которые отвечают различным значениям параметров и удовлетворяют условию

.

Введем скалярно-оптимизационную функцию  множества , устанавливающую соответствие между множеством  и точками числовой оси

.

Скалярно-оптимизационная функция  определяет наибольшее значение производной  на ограниченном множестве интегральных воронок, вдоль которых интервальная функция Ляпунова  убывает. Функция  может рассматриваться как обобщение понятия производной положительно определенной функции на системы с интервальными коэффициентами.

Введем вспомогательную функцию

                                                                             (14)

и в качестве функции Ляпунова возьмем интервальную квадратичную форму

.                                                           (15)

Здесь - естественное интервальное расширение вещественной квадратичной формы. Тогда функциональное уравнение Беллмана примет вид

.

С учетом вида выбранной интервальной функции Ляпунова и скалярно-оптимизационной функции  функция (14) равна

.