Робастное управление интервальными динамическими системами. Модели интервальных динамических систем, страница 6

Здесь  - нижняя граница минимального собственного числа, а  - верхняя граница максимального собственного числа интервальной матрицы ; величины  определяются соотношениями:

, где ,  - собственные векторы матрицы , отвечающие собственным числам  и ;  - евклидова норма вектора;  - модуль интервального вектора,  - медиана интервальной матрицы .

Из сказанного следует, что у параметрически возмущенной системы (2) существует интервальная функция, которая удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функциям Ляпунова. Вычислим полную производную интервальной функции Ляпунова  в силу системы (19), замкнутой синтезированным управлением,

.

Матрица  - решение интервального уравнения (17), поэтому для производной функции Ляпунова справедливо следующее соотношение

.

Интервальная квадратичная форма в правой части данного включения отрицательно полуопределена в силу положительной полуопределенности матрицы .

Из существования интервальной функции Ляпунова и отрицательной определенности ее производной в силу уравнений возмущенного движения следует устойчивость системы (19) при всех вариациях параметров объекта управления, ограниченных неравенствами (20) - (23).

Если интервальная функция Ляпунова задается квадратичной формой (15), а регулятор определяется соотношением (16), то вспомогательная функция (14) принимает вид

.

Функция  тождественно равна нулю, так как матрица  - решение уравнения (17). Таким образом, у системы (19), замкнутой синтезированным управлением, существует функция , которая допускает бесконечно малый высший предел и удовлетворяет функциональному уравнению Беллмана. Из достаточного условия оптимальности непрерывных процессов следует оптимальность управления (16) по отношению к функционалу качества (13).

Значение функционала качества, вычисленное вдоль траекторий параметрически возмущенной системы (19), равно:

.

С точностью до знака подынтегральная функция совпадает с производной функции , поэтому

, и из устойчивости параметрически возмущенной системы (19) имеем: . Последнее интервальное равенство эквивалентно двухстороннему неравенству  или , которое с учетом соотношений (27) и (28) преобразуются к оценкам вида (26): . Данные неравенства выполняются при всех допустимых вариациях параметров, ограниченных условиями (20) - (23). Следовательно, синтезированное управление (16) обеспечивает робастную устойчивость и робастное качество интервальной системы (2), т.е. является решением робастной линейно квадратичной оптимизации.

В соответствии с рассмотренной методикой параметры робастного регулятора определяются при решении интервального матричного уравнения Риккати. Процедура решения интервального матричного уравнения сводится к решению двух «граничных» уравнений Риккати с вещественными коэффициентами, которые соответствуют предельным значениям параметров управляемого объекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

  1.Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С. 356-359.

  2.Розоноэр Л.И. Инвариантность как вариационная проблема // Автоматика и телемеханика. 1963. № 5. С. 744-756.

  3.Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981. 464 с.

  4.Мееров М.В. Об автономности многосвязных систем, устойчивых при неограниченном увеличении установившейся точности // Автоматика и телемеханика. 1956. № 5. С. 410-424.

  5.Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации управления. М.: Наука, 1981. 368 с.

  6.Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1988. 108 с.

  7.Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 164-174.

  8.Langenhop C.E. On the stabilization of linear systems // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. V. 15, №5. P. 97-108.