Робастное управление интервальными динамическими системами. Модели интервальных динамических систем, страница 2

Пусть для системы (2) необходимо найти множество стабилизирующих регуляторов

                                                                                                     (3)

таких, что спектр замкнутой системы

совпадает или является подмножеством предписываемого спектра, задаваемого последовательностью  при всех  и :

.                                                                                                  (4)

Здесь  - спектр интервальной матрицы замкнутого контура ;  - интервальная матрица, на главной диагонали которой расположены числа , выбираемые из требований к нижним и верхним границам прямых показателей качества;  - спектр (множества собственных значений) матрицы . Включение для спектров интервальных матриц понимается в покомпонентном смысле:

.

Иными словами, необходимо найти интервальную матрицу  такую, что

, где ,  - матрицы с вещественными элементами.

Последовательность  попарно различных интервальных чисел задает требования к прямым показателям качества (времени переходного процесса, перерегулированию, колебательности) системы (2). Эта последовательность определяет положение спектра матрицы замкнутого контура в требуемой области комплексной плоскости . В жордановом базисе матрица замкнутого контура подобна диагональной матрице .

Синтезируемое управление должно обладать свойствами робастной устойчивости по отношению к параметрическим возмущениям. Последнее означает, что включение (4) должно выполняться при любых  и .

Для управляемых систем с несколькими входами  решение задачи размещения полюсов не единственно [15], и возникает вопрос об описании множества стабилизирующих регуляторов.

Для систем с вещественными коэффициентами задача нахождения матрицы , определяющей «глубину» обратной связи по полному вектору состояния, сводится к решению матричного уравнения Сильвестра [16]

                                                                                                 (5)

относительно матрицы с произвольной матрицей  и решению матричного уравнения

.                                                                                                         (6)

Для интервальной динамической системы (2) условия разрешимости задачи робастного размещения полюсов и методика её решения содержатся в следующей теореме.

Теорема 1.1.  Пусть для системы (2) выполнены следующие условия:

1) матрица  полного ранга: ,  (, если для всякой  выполнено );

2) интервальная матричная пара  управляема:

, , ;

3) интервальная матричная пара  наблюдаема:

, , , ;

4) спектры матриц  и  не пересекаются: ;

5) интервальные числа  , формирующие предписываемый спектр , попарно различны: .

Тогда существует робастное управление (3) такое, что матрица замкнутого контура

имеет спектр, удовлетворяющий включению

при всех  и .

Параметры регулятора (3) определяются из соотношения

.                                                                                                         (7)

Здесь матрица  - решение интервального уравнения Сильвестра

,                                                                                                (8)

В теореме 1.1 и далее использованы следующие понятия и обозначения, согласованные с общепринятыми в интервальном анализе [17, 18].

Определение 1.1.  Интервальная матрица  называется матрицей полного ранга, если матрицей полного ранга является всякая вещественная матрица .

Определение 1.2.  Интервальная матричная пара  называется управляемой, если управляема пара вещественных матриц  для любых  и .

Определение 1.3.  Интервальная матричная пара  называется наблюдаемой, если наблюдаема пара вещественных матриц  для любых  и .

Спектры двух интервальных матриц не пересекаются, если не пересекаются интервалы, определяющие их собственные значения:

.