Пусть для системы (2) необходимо найти множество стабилизирующих регуляторов
(3)
таких, что спектр замкнутой системы
совпадает
или является подмножеством предписываемого спектра, задаваемого
последовательностью при всех
и
:
.
(4)
Здесь
- спектр интервальной
матрицы замкнутого контура
;
- интервальная матрица,
на главной диагонали которой расположены числа
,
выбираемые из требований к нижним и верхним границам прямых показателей качества;
- спектр (множества
собственных значений) матрицы
.
Включение для спектров интервальных матриц понимается в покомпонентном смысле:
.
Иными
словами, необходимо найти интервальную матрицу такую,
что
, где
,
- матрицы с вещественными
элементами.
Последовательность
попарно различных
интервальных чисел задает требования к прямым показателям качества (времени
переходного процесса, перерегулированию, колебательности) системы (2). Эта последовательность
определяет положение спектра матрицы замкнутого контура в требуемой области
комплексной плоскости
. В жордановом
базисе матрица замкнутого контура подобна диагональной матрице
.
Синтезируемое
управление должно обладать свойствами робастной устойчивости по отношению к
параметрическим возмущениям. Последнее означает, что включение (4) должно
выполняться при любых и
.
Для
управляемых систем с несколькими входами решение
задачи размещения полюсов не единственно [15], и возникает вопрос об описании
множества стабилизирующих регуляторов.
Для
систем с вещественными коэффициентами задача нахождения матрицы , определяющей «глубину»
обратной связи по полному вектору состояния, сводится к решению матричного
уравнения Сильвестра [16]
(5)
относительно
матрицы с произвольной матрицей
и решению матричного
уравнения
.
(6)
Для интервальной динамической системы (2) условия разрешимости задачи робастного размещения полюсов и методика её решения содержатся в следующей теореме.
Теорема 1.1. Пусть для системы (2) выполнены следующие условия:
1)
матрица полного ранга:
,
(
, если для всякой
выполнено
);
2)
интервальная матричная пара управляема:
,
,
;
3)
интервальная матричная пара наблюдаема:
,
,
,
;
4)
спектры матриц и
не пересекаются:
;
5)
интервальные числа
, формирующие предписываемый
спектр
, попарно различны:
.
Тогда существует робастное управление (3) такое, что матрица замкнутого контура
имеет спектр, удовлетворяющий включению
при
всех и
.
Параметры регулятора (3) определяются из соотношения
.
(7)
Здесь
матрица - решение интервального
уравнения Сильвестра
,
(8)
В теореме 1.1 и далее использованы следующие понятия и обозначения, согласованные с общепринятыми в интервальном анализе [17, 18].
Определение
1.1. Интервальная матрица называется матрицей полного
ранга, если матрицей полного ранга является всякая вещественная матрица
.
Определение
1.2. Интервальная матричная пара называется управляемой,
если управляема пара вещественных матриц
для
любых
и
.
Определение
1.3. Интервальная матричная пара называется наблюдаемой,
если наблюдаема пара вещественных матриц
для
любых
и
.
Спектры двух интервальных матриц не пересекаются, если не пересекаются интервалы, определяющие их собственные значения:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.