Синтез модального управления. Постановка задачи модального управления. Эталонная модель (коэффициенты характеристического уравнения системы)

Синтез модального управления

Из классической теории САУ известно, что динамику системы автоматического управления можно сделать любой, наперед заданной. (Вспомним корректирующие устройства последовательного, параллельного, комбинированного типов, метод ЛАХ ‑ как метод синтеза корректирующего устройства).

Можно ли сделать это при представлении модели  системы в уравнениях переменных состояния?

Теорема. Необходимое и достаточное условие полной управляемости линейной стационарной  системы   и  заключается  в  том, чтобы  матрица  управляемости     Р = [ В | АВ |…|А^n-1В ]     имела бы ранг n, то есть пара (А,В) – управляема.

Под управляемостью понимают существование управления u(t), достаточного для перевода системы за конечное время  t_к – t_o  из состояния x_o в x_к, где  x_o  и  x_к – две произвольные точки пространства состояний размерности n.

Постановка задачи модального управления

Замкнутая система автоматического управления должна иметь динамику, заданную эталонной моделью  j(s) = sⁿ ₊ g_n-1s^n-1 +…+ g_o.                (1)

Эталонная модель (коэффициенты характеристического уравнения системы) выбирается исходя из требуемых показателей качества (t_n - время переходного процесса, s - перерегулирование, статическая и динамическая точности).

Другими словами: требуется обеспечить заданное расположение полюсов передаточной функции системы (моды – полюса).

Синтез осуществляется в два этапа.

1.  Выбор расположения полюсов, имеющего целью удовлетворить заданным техническим требованиям (определение требуемых коэффициентов уравнения (1) системы).

2.  Проектирование регулятора, обеспечивающего желаемое расположение полюсов.

2.1.  Приведение математической модели объекта к нормальной форме, когда вектор состояния – вектор фазовых переменных.

2.2.  Нахождение регулятора применительно к этому виду описания.

2.3.  Преобразование регулятора к первоначальной форме математической модели.

Все этапы синтеза выполняются с помощью ЭВМ.

Пусть имеется объект ;                                                  (2)

Существует неособенное преобразование координат  x = Mz,          (3)

приводящее систему (2) к нормальной форме  ,             (4)

где матрицы A_к и B_к  имеют вид:

A_к = ;    B_к = ;

(2) с учетом (3)    Þ     Þ    .

Тогда в (4) ,  .

Пусть регулятор ищется в виде  u = g - K_кzили с учетом (2) (в исходных переменных) ,     .                         (5)

Тогда замкнутая система имеет вид

Получим характеристическое уравнение матрицы А_к - В_кK_к:

Если K_к = (k₁ , k₂ ,…, k_n),            то В_кK_к = ;

А_к - В_кK_к = ;

Тогда  det(sE - (А_к - В_кK_к)) = sⁿ + (a_n-1 + k_n) s^n-1 + … + (a₀ + k₁) = 0;           (7)

Сравнивая желаемый характеристический полином (1) с характеристическим  полиномом замкнутой системы (7) можно, приравнивая коэффициенты при одинаковых ступенях S, получить:

Таким образом для системы найдена матрица обратной связи K_к (8) по желаемому характеристическому уравнению синтезированной системы и характеристическому уравнению матрицы А_к объекта управления.

Тогда требуемая динамика (1) объекта управления, представленного уравнением (2), будет достигнута, если регулятор u = g - Kx  будет определяться матрицей K = K_кM^-1, полученной после обратного преобразования координат (3).

Переход от математической модели вида (2) к нормальной форме (4) обычно выполняется без проблем. Например, сначала из (2) можно получить уравнение вход-выход системы в операторной форме, а затем уже перейти к системе уравнений в нормальной форме (в фазовых координатах). Прямой способ перехода от (2) к (4) выполняется чуть сложнее. Сначала составляется матрица управляемости Р = [ В | АВ |…|А^n-1В ], затем находится  ее обратная:  Р^-1, далее вычисляется матрица А_к = Р ^-1 *A*Р.

Для нахождения матрицы М обратного преобразования координат (3) сначала следует составить матрицу Р_k= [ В_k | A_kВ_k |…|( A_k)^n-1 В_k],

После чего находится  М^-1= Р_k*Р^-1, обратив которую можно получить и М.

Если процедура вычисления матрицы М вызывает проблемы, то для нахождения матрицы  К  регулятора можно воспользоваться формулой Аккермана:

. (9)

Способы задания характеристического полинома эталонной модели

Основные требования к эталонной модели задаются показателями: t_n - время переходного процесса, s - перерегулирование, статическая и динамическая точности.