Исследование оптимальной системы ЛК – управления с наблюдателем Калмана. Трехмерная система представления модели RGB

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ по лабораторной работе № 13

Дисциплина: компьютерные системы управления

Тема: Исследование оптимальной системы ЛК – управления с наблюдателем Калмана

Выполнил студент гр. 5081/1                                                                                 

Проверил:                                                                                                                 

Санкт-Петербург

2009   

1.  Цель работы

Изучение организации, методов синтеза и исследование особенностей работы оптимальной системы линейно-квадратичного управления (ЛК-управления) с наблюдателем Калмана.

2.  Теоретические сведения

Как известно, организация систем оптимального терминального управления с интегральным квадратичным критерием качества (системы ЛК - управления) требует знания всех координат состояния объекта управления.

В случае, когда часть из этих координат по каким-либо причинам не измеряемы, реализация ЛК-управления возможна, если в системе производится их восстановление. Известны различные способы  построения таких восстановителей, получивших в литературе название наблюдателей. Если объект и измеритель координат находятся под воздействием случайных помех, в качестве наблюдателя наибольшее распространение получил фильтр Калмана.

Следует отметить лишь то, что наблюдатели для восстановления неизмеряемых координат, как правило, используют идею применения адекватной объекту  математической модели, в которой доступны для измерения все координаты. Эти координаты и применяются при синтезе оптимального управления. С целью  уменьшения влияния задержек, в наблюдателе Калмана реализуются прогнозируемые на такт вперед значения координат состояния объекта.

Так как прогнозируемые и реальные (измеряемые) их значения неизбежно отличаются, в структуру фильтра Калмана включена цепь коррекции прогнозируемого значения координат. Для этой коррекции и используется  рассогласование  (невязка)  между реальными (измеряемыми) и прогнозируемыми координатами  состояния .

На рис.2.1 приведена структурная схема системы оптимального терминального

ЛК-управления с фильтром Калмана в качестве наблюдателя. Если сравнить структуру системы ЛК-управления с  полностью измеряемыми координатами состояния с системой, показанной на рис. 2.1, можно отметить, что последняя значительно сложнее.

Рис. 2.1. Структурная схема оптимального терминального ЛК-управления с фильтром Калмана в качестве наблюдателя.

Чтобы оценить эффективность применения наблюдателей, существенно усложняющих структуру управления по сравнению  с системой без наблюдателя, в данной работе используется метод экспериментальной оценки сравниваемых систем.  При этом следует  учитывать, что в системе с наблюдателем (рис. 2.1), помимо задачи восстановления неизмеряемых координат решается так же задача фильтрации помех. В ряде случаев эта задача может быть даже определяющей, т.е. такое сравнение будет не корректно.

Рассмотрим более подробно формализованное описание системы с наблюдателем и применяемые в таких системах обозначения параметров и переменных

Пусть имеется объект, описываемый следующей системой уравнений:

                            (1)

где :

x– вектор координат состояния объекта, ;

y – вектор измеряемых координат, ;

А,В – постоянные матрицы параметров объекта;

С – матрица измерений;

u – сигнал управления;

n, w – векторный «белый шум» (помеха) с характеристиками:

мат. ожидание M( v)= ¯n ; M(w)=¯w   и дисперсиями V и W соответственно

Согласно идее построения фильтра Калмана, в структуре последнего должен присутствовать дискретный эквивалент объекта (1), обеспечивающий формирование  прогнозируемого значения полного вектора состояния в виде алгебраических уравнений:

              (2)

где:      - прогнозируемое значение полного вектора координат;

ỹ- прогнозируемое значение измеряемых координат;

 - дискретное время, измеряемое в интервалах квантования Т₀;

- оценка полного вектора координат состояния;

А_д, В_д - матрицы параметров дискретной модели объекта;