Свободные колебания. Решение уравнения в обратной форме

I семестр         ЛЕКЦИЯ 8

2.5.3   Свободные колебания . Решение уравнения в обратной форме.

Подстановка решения   в уравнение в обратной форме приводит уравнение к виду

.

Так как уравнение должно выполняться при любом значении t, т.е. в любой момент времени, этой записи эквивалентно алгебраическое матричное однородное уравнение

.

Однородная система алгебраических уравнений имеет два варианта решения:

1.  - так называемое тривиальное решение;
2. Ненулевое (нетривиальное) решение, условием существования которого является равенство нулю определителя системы         .

Последнее выражение называется характеристическим уравнением задачи (или частотным, или вековым) и является уравнением n степени относительно величины, обратной ω²

.

Например: для системы, имеющей две степени свободы

Доказывается, что если исходное положение есть положение устойчивого равновесия, то n корней характеристического уравнения  λ_k  (i=1,…, n) являются действительными и положительными числами. λ_k называются собственными числами или собственными значениями матрицы

.

Упорядоченная в порядке убывания и пронумерованная совокупность положительных значений λ_k образует так называемый спектр собственных чисел

.

Каждому собственному числу соответствует свой вектор амплитуд обобщенных координат, удовлетворяющий уравнению

.       (   *    )

Например, для системы, имеющей две степени свободы

Уравнение ( * ) содержитn неизвестных перемещений (обобщенных координат, компонент вектора ) . Однако, в силу    (определитель нами приравнен нулю)      матрица коэффициентов однородной системы уравнений является вырожденной, уравнения линейно зависимы, число независимых уравнений в системе меньше n. Если  характеристическое уравнение имеет «простые» корни (т.е. в спектре нет одинаковых корней), то число независимых уравнений равно n-1, и компоненты вектора амплитуд определятся с точностью до множителя. Найденной таким образом – с точностью до множителя - распределение амплитуд при собственном колебании с частотой ω_k  называется собственной формой колебаний.

2.5.4  Собственные значения и собственные векторы.

Описанная выше задача о свободных колебаниях в математике называется «проблема собственных значений (чисел) и собственных векторов».

Говорят, что столбец  является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу , если выполняется равенство

,

т.е. матрица  переводит вектор в колинеарный ему вектор.

Равенство можно переписать в виде однородной системы уравнений

 ,                 *)

ненулевое решение которого возможно при равенстве нулю определителя матрицы

.

Последнее уравнение представляет собой полином степени относительно  и называется характеристическим уравнением, вековым уравнением, частотным уравнением.

Если матрица К – положительно определенная, то все ее собственные значения – положительны, и, в таком случае, они имеют вещественные значения .

Доказывается, что если исходное положение есть положение устойчивого равновесия, то матрица =, размером *,удовлетворяет приведенному выше требованию и, следовательно, динамическая система имеет  собственных чисел с учетом их кратности.  

Если имеет место взаимно однозначное соответствие собственного числа и собственного вектора, то собственное число называют простым (корнем характеристического уравнения). Если корню λ_k соответствуют m собственных векторов (в нашей задаче – одной частоте соответствуют несколько собственных форм), то говорят  о кратном корне характеристического уравнения или о корне кратности m.

- простой корень  

- кратный корень   ,   m - кратность.

Общее количество корней равно nс учетом их кратности:.

Очевидно, что при умножении любого собственного вектора на произвольное число равенство *)  не нарушается.

Задание множителя определяет процедуру нормирования, которая может быть выполнена различными способами:

Часто наибольшую из компонент вектора  принимают равной 1;

Можно принять равным 1 перемещение ;

Часто оказывается удобным нормировать модуль вектора (эвклидова норма) .

Изучение теории собственных чисел и собственных векторов представляет исключительный интерес ввиду того, что

1. Многие соотношения радикально упрощаются, если в качестве векторов обобщенных координат (базисных векторов) использовать собственные векторы (приведение матриц к диагональному виду, приведение квадратичных форм к сумме квадратов ,  и др.) ;
2. Собственные значения выражают важные свойства матрицы без ссылки на какую либо систему координат;
3. Во многих приложениях собственные числа и собственные векторы имеют прямой физический или геометрический, а в нашей задаче – механический смысл.

2.5.5   Свойства собственных форм

Говорят, что векторы и ортогональны, если выполняется соотношение

.

I.   Свойства ортогональности собственных форм.

Для собственных форм справедливы следующие соотношения

 - ортогональность по матрице*) масс;

и

 - ортогональность по матрице жесткости.

*) с матрицей, относительно матрицы.

II      Если собственные частоты упорядочены, как положено, т.е.

,
то при увеличении порядкового номера собственной частоты увеличивается количество узловых точек собственной формы, под которыми понимается

• или неопорные точки, неучаствующие в движении
• или точки перегиба оси.