Изгибные колебания балок

I семестр         ЛЕКЦИЯ 14

4.3     Изгибные колебания балок.

4.3.1 Уравнение движения и граничные условия

При исследовании попреречных колебаний стержня воспользуемся всеми допущениями, предписываемыми технической теорией изгиба:

• характерный размер поперечного сечения мал по сравнению с длиной стержня;
• пренебрегаем деформацией сдвига;
• малые перемещения.

Тогда, дифференциальное уравнение изогнутой оси для случая равновесия балки имеет вид  

.

При действии на стержень переменной во времени поперечной нагрузки :

              

Здесь - погонная масса стержня.

Полученное для случая равновесия стержняможно применить к случаю движения , воспользовавшись принципом Даламбера, т.е. добавляя к распределенной нагрузке погонные силы инерции, интенсивность которых определится произведением погонной массы на ускорение. Тогда без учета сил сопротивления уравнение движения имеет вид

(1)                                              .

Это есть линейное уравнение четвертого порядка в частных производных. Его решение – функция прогибов в интервале изменения x от 0 доl, содержащая 4 постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяются поведением функции прогибов по торцам, т.е. условиями закрепления концевых сечений.

(2)                                             Граничные условия:

 

Геометрические граничные условия (перемещения) – включают в себя перемещения и углы поворота.        Динамические граничные условия – те, которые содержат поперечные силы и моменты, т.е. –производные ботлее высоких порядков.

 

(3)  Условия начала движения.

4.3.2     Свободные колебания

.

Полученное уравнение – уравнение малых колебаний – линейное, т.к. перемещения и их производные входят в первой степени. Ищем общее решение в виде суперпозиции частных. Применим к нему метод разделения переменных, а именно, частное решение представляем в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от X, а вторая только от  t

. 

Тогда после подстановки частного решения получаем:

       Так как левое отношение не содержит t , а правое не содержит x, то это равенство возможно только в том случае, если каждая из функций постоянна. Обозначим ее .

Тогда уравнение движения оказывается эквивалентным двум уравнениям в обычных производных

 

Частное решение для функции T(t):

, где амплитуда и фаза определяются начальными условиями.

Это уравнение показывает, что  есть частота свободных колебаний балки.

↓

При определении констант первого из уравнений сталкиваемся опять с процедурой отыскания ненулевого решения однородной системы уравнений:

↓

Интегрируя первое уравнение и составляя граничные условия для определения констант , мы убеждаемся, что ненулевое решение имеет место тогда, когда   принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки.

Собственные частоты нумеруем в порядке возрастания.

↓

Каждому значению собственной частоты  соответствует собственная форма колебаний , удовлетворяющая первому из уравнений. Конечно форма определена с точностью до постоянного множителя.

↓

Ортогональность собственных форм: при .

↓

Вынужденные колебания – разложение по собственным формам.

4.3.3 Колебания балок постоянного сечения

Для сокращения записи обозначим  .  Тогда первое уравнение приобретает вид

.

Общий интеграл  этого уравнения имеет вид

.

Далее решается задача определения постоянных интегрирования из граничных условий.

Прежде, чем это проделать рассмотрим иную форму записи общего решения, имеющую значительные преимущества при организации вычислительного процесса, а именно представление общего интеграла с помощью функций А.Н. Крылова.

Известно, что линейная комбинация частных решений является также частным решением. В таком случае вместо гиперболических и тригонометрических синусов и косинусов используем в качестве частных решений следующие их линейные комбинации:

;

;

;

.

Легко убедиться в следующих свойствах функций А.Н. Крылова:

·  Производная по Х каждой следущей функции   равна предыдущей .

·  При х=0   .

Эти свойства позволяют назвать систему функций Крылова системой с единичной матрицей или частными решениями с единичной матрицей начальных значений.

Итак, общее решение уравнения для определения собственных форм колебаний записываем следующим образом:

 .

Примеры:

4.3.4    Балка, лежащая на двух опорах.

На каждой опоре равны нулю прогиб и изгибающий момент:

               

                                                  

Далее повторяем рассуждения, связанные с решением однородной системы уравнений:  

Условием получения ненулевого решения является равенство нулю определителя, а именно

.     

Это равенство эквивалентно двум следующим

  или   . Первый вариант исключается, т.к. гиперболический синус имеет ноль только в начале координат. Остается второй вариант и, следовательно:

 или                                     

Заметим, что собственные частоты растут пропорционально квадрату номера, а не первой степени, как это было при продольных колебаниях.

После подстановки значения частоты  из найденного ряда в однородную систему уравнений следует

Таким образом, только постоянная D оказалась отличной от нуля и частное решение уравнения свободных колебаний балки постоянного сечения имеет вид

.

Значение  выбирается из соображений удобства вычислений – так называемая процедура нормирования. Например, может быть использовано условие равенста 1 амплитуды формы, что приводит к .

4.3.5    Консольно защемленная балка.

На каждой опоре равны нулю прогиб и изгибающий момент:

               ( при дифференцировании  функция V2 переходит в V1)

                                                 

Далее повторяем рассуждения, связанные с решением однородной системы уравнений:  

Условием получения ненулевого решения является равенство нулю определителя, а именно

.     

    Отсюда   . 

Три первых корня этого уравнения