Колебания и устойчивость нелинейных систем

II семестр         ЛЕКЦИЯ 6

Тема 4:  Колебания и устойчивость нелинейных систем

4.1    О нелинейных задачах строительной механики

Задачи устойчивости – нелинейные. Обсуждая устойчивость сжатых стержней и рам, мы рассматривали линеаризованные постановки задач – устойчивость в смысле Эйлера.

Типы нелинейностей:

1. Физическая нелинейность – отклонение от закона Гука

·  Нелинейная упругость

·  Упруго-пластические системы

2. Геометрическая нелинейность – большие перемещения порождают изменение геометрии системы.
3. Конструктивная нелинейность.

А также:    ползучесть, трение и др.

Задачи устойчивости относятся к классу геометрически нелинейных задач. Нелинейные постановки задач динамики и устойчивости будем рассматривать на примере фермы Мизеса.

4.2     Симметричная ферма Мизеса

·  Стержни неограниченно прочные;

·  Стержни линейно деформируемые;

·  Центральный узел может получать перемещения по вертикали и горизонтали.

В связи с этими допущениями можно предположить

·  Большие перемещения, влекущие изменение геометрии. Уравнения равновесия следует составлять для деформированной схемы.

·  Статика:  формы равновесия – симметричная и несимметричная.

·  Динамика: если центральный узел несет на себе некоторую массу, то эта система с двумя степенями свободы, уравнения движения которой

При свободных колебаниях

• 
• начальные возмущения:        

 4.3  Симметричные формы равновесия фермы Мизеса

Положение узла при симметричной деформации определяется одной координатой; это может быть угол  или текущее значение ординаты, равной смещению ().

Уравнение равновесия в линейной постановке:  

.

Уравнения равновесия для деформированной схемы

.

Неизвестными в этом выражении являются и N, и  φ – задача статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости привлекаем геометрические и физические соотношения:

;

;    ;

;

;

Тогда:    - уравнение равновесия, содержащее одну неизвестную , - - нелинейное относительно  уравнение.

Очевидно, что если известен угол , легко найти соответствующее ему значение нагрузки ;  определение угла по известной силе предоставляет определенные сложности. О методах решения нелинейных задач поговорим на следующей лекции.

Для исследования вопросов устойчивости удобнее в описании геометрии перейти от использования угла φ к использованию перемещения узла :     

;   ;

;   .

Окончательное выражение приведем без вывода:

.

4.4    Несимметричные формы равновесия фермы Мизеса

;     ;     ;    

Приведенные выражения свидетельствуют о том, что  и представляют собой нелинейные функции от координат х и у.

4.5      Устойчивость форм равновесия фермы Мизеса

А.      На рис. представлена графически зависимость Р – v симметричных форм исследуемой системы - кривая равновесных состояний.

Опишем поведение системы при нагружении и разгрузке:

• участок 0-1 – монотонное возрастание силы и перемещения,
• перескок 1-5,
• дальнейшее деформирование 5-6 и далее,
• при разгрузке – перескок из точки 3 на начальную ветвь.

Отметим отдельно,

• что при значениях силы Р от Р₁ до Р₃ одному значению силы соответствуют три состояния равновесия.
• что состояния равновесия, отображаемые точками участка 1-3, не реализуются ни в процессе нагружения, ни в процессе разгрузки.

Можно предположить, что состояния равновесия, отображаемые точками участка 1-3, неустойчивы.

В этом можно убедиться формально, по знаку второй производной от потенциальной энергии. Выражение для потенциальной энергии   

, где , .

Произведя соответствующие вычисления, придем к выводу, что при параметрах P и v , определяющих точки участка 1-3 вторая производная от потенциальной энергии меньше нуля , а, следовательно, соответствующие положения равновесия неустойчивы. Остальные участки кривой состояний равновесия отображают устойчивые состояния.

Примеры механических систем, потеря устойчивости которых происходит при появлении несмежных форм равновесия

Б.     С помощью уравнений ( ) можно исследовать возможную потерю устойчивости фермы Мизеса с переходом в смежное несимметричное состояние (    ).

 Такой анализ приведен в книге В.И. Феодосьева  «Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов».  Им было установлено, что обсуждаемый тип потери устойчивости возможен, но только для относительно «высоких» ферм .

4.6     Понятие о секущей и касательной жесткостях.

Линейная  задача	Нелинейная задача
,  где  - для системы с одной степенью свободы (тангенс угла α.);  - для системы с n степенями свободы.	, где  - секущая жесткость. Вводится понятие «касательная жесткость»: - для системы с одной степенью свободы (тангенс угла α.); заметим, что ; - для системы с n степенями свободы. Замена секущей жесткости касательной жесткостью – линеаризация.

4.7     Касательная жесткость при симметричной деформации фермы Мизеса

Линейная задача: . ;     ;     ; ;     .

Нелинейная задача:      . В это формуле переменная  находится как в явном виде, так и в выражении для :         . Вложенная функция:  ;   ;   ; Производная от вложенной функции:   . При   касательная жесткость совпадает с жесткостью системы в линейной постановке: .

Матрица касательной жесткости в состоянии k при несимметричной деформации симметричной фермы имеет вид:

;   где    ,         и т.п..