Решение уравнения устойчивости центрально сжатого стержня

II семестр         ЛЕКЦИЯ 4

2.2  Решение уравнения устойчивости центрально сжатого стержня

Итак, на прошлой лекции получено уравнение устойчивости сжато-изогнутого стержня – дифференциальное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами

     (для случая  и нагрузка по торцам ).

В случае центрального сжатия:

.

Интеграл этого уравнения (в чем можно убедиться, подставив в уравнение):

Здесь ,     ;

- частное решение, зависящее от правой части, в случае q_y=0      ;

С₁, С₂, С₃, С₄ – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

2.3    Граничные условия.

Геометрические г.у. – запрет поперечных перемещений  и(или) поворота касательной

Силовые или статические г.у. – условия равновесия элемента стержня, примыкающего к торцу, в деформированном состоянии

Так на свободном конце нагрузка дает условие .

Заменим систему торцевых сил P и R на усилия N и Q в деформированном состоянии:

 

Тогда           ;

              .

Упругая опора:

2.4     Пример определения постоянных интегрирования из граничных условий:

Система уравнений для определения С₁, С₂, С₃, С₄:

                 С₂                                

                                    

Получена система однородных уравнений относительно С₁, С₂, С₃, С₄, допускающая два варианта решения:

1. Тривиальное: С₁= С₂= С₃= С₄  =  0;
2. :

    – трансцендентное уравнение относительно .

Облегчим задачу получения характеристического уравнения, определив два корня из первых двух уравнений:

       →       С₂= С₄  =  0.

Тогда       ;

    →              →             →     - спектр собственных значений дифференциального уравнения;

;                     .

Следствием линеаризации является неопределимость перемещения.

2.5   Метод начальных параметров в задачах устойчивости (метод Клебша)

Начальные условия – частный случай граничных условий, представленных значениями геометрических и статических параметров в начале координат – начальными  параметрами

Выразим постоянные интегрирования через начальные параметры, для чего

1. получим выражения для соответствующих функций,
2. а затем придадим аргументу Х нулевое значение.

(1)  

   

   

Заменим выражение поперечной силы для сечения с координатой Х (в деформированном состоянии) выражением для проекции внутренних сил на поперечное сечение в недеформированном состоянии, как это было показано при анализе силовых граничных условий:

 

Здесь учтено, что

Система уравнений относительно С₁, С₂, С₃, С₄ получается подстановкой Х=0:

Решение системы уравнений:

В результате получим выражения для геометрических и статических параметров стержня, подверженного действию сжимающей силы, при потере устойчивости прямолинейной формы равновесия :

.

Последнее равенство является подтверждением отсутствия нагрузки, перпендикулярной недеформированной оси стержня.

Полученные выражения описывают поведение стержня в пределах одного участка, содержащего начало координат.

В случае, если при   параметры стержня меняются скачком, т.е. при  получают приращения , функция перемещений также получает приращение:

при

.

Пример:

х = а+b: v(а+b)=0; v′(a+b)=0.

х = а+b: v(а+b)=0; v′(a+b)=0.

х = а+b: v(а+b)=0; v′(a+b)=0.

х = а+b: v(а+b)=0; v′(a+b)=0.

Начальные условия и изменение угла поворота при учтем при составлении выражений для

Оставшиеся условия используем для определения неизвестных :

;                  .

;        .

;    .

Однородная система уравнений относительно  . Для получения ненулевого решения приравниваем нулю определитель:

=0,                

Возможны три варианта результата:

•   →   Р_кр1< Р_кр2 ;
•  →   Р_кр1> Р_кр2 ;
• Р_кр1= Р_кр2.