Анализ устойчивости первоначальной формы равновесия. Анализ устойчивости смежной формы равновесия

II семестр         ЛЕКЦИЯ 3      

Динамический критерий

В начале прошлой лекции дано следующее определение понятию устойчивость:

Равновесие называют устойчивым, если, задавшись любой величиной η>0, всегда можно указать

такую конечную величину ε>0, что при возмущении ψ< ε,  характерное перемещение │Δ│< η.

В общем случае потеря устойчивости одного состояния равновесия системы и переход ее в новое равновесное состояние – это протекающий во времени процесс, полное описание которого требует динамического подхода.

Динамический подход подразумевает анализ свойств возмущенного движения, возникающего после нарушения исследуемого состояния равновесия. Если при этом система остается в окрестности состояния равновесия, то это состояние считается устойчивым.

Оценим устойчивость двух форм равновесия – первоначальной и смежной – системы, для которой ранее использовался статический подход (метод Эйлера, энергетический критерий).

Предположим некоторое малое возмущение равновесного состояния в начальный момент времени. Далее система может находиться в состоянии свободных колебаний или иного движения, осуществляемого без доступа энергии извне.

*)Напоминание: уравнение движения массы , обладающей одной степенью свободы q, при отсутствии вынуждающей силы

 или .

Пусть –угол поворота, характеризующийотклонение от равновесного состояния в произвольный момент времени, т.е. степень свободы. В таком случае инерционный коэффициент представляет собой момент инерции массы .

Анализ устойчивости первоначальной формы равновесия.

Уравнение движения (без учета диссипативных сил:

;

;

, где  .

Уравнение имеет решение:

, где

 - постоянные интегрирования, определяемые через начальные условия,

 -  коэффициенты в степени основания натурального логарифма, которые зависят от знака коэффициента , как это видно из двух первых строк следующей таблицы.

		- кратные корни
Вид решения и его преобразования:
Граничные условия		Граничные условия			Граничные условия
Решение с учетом граничных условий
Анализ полученных решений
Гармонические незатухающие колебания внутри коридора		Переход в новое положение без толчка		Поступательное движение с постоянной скоростью		Поступательное движение с переменной скоростью

Анализ устойчивости смежной формы равновесия.

Это положение равновесия возможно только при  .

 

Обратим внимание на то, что:

•  - угол, характеризующий смежную форму равновесия;
•  - отклонение от смежной формы равновесия, предполагаемое малым, таким, что .

Момент сил инерции определяется отклонением от положения равновесия Δj.

Тогда уравнение движения имеет вид:

.

Приведем его к виду  :

;

В предположении малости угла Δj

.

После подстановки полученного выражения в уравнение движения получаем:

  и, таким образом

.

Рисунок поясняет утверждение о том, что коэффициент в дифференциальном уравнении положителен, и, как следует из проведенного выше исследования решения (таблица), положение равновесия устойчиво.

Тема 2.  

Устойчивость прямолинейного сжато-изогнутого стержня ( и )

2.1  Уравнение равновесия сжато-изогнутого стержня

Рассматривается устойчивость «в смысле Эйлера»; этоозначает, что приняты следующие допущения:

1. ось ненагруженного стержня – идеальная прямая, равнодействующие внешних сил действуют строго вдоль этой оси;
2. перемещения малы как в докритическом состоянии, так и в результате потери устойчивости первоначальной формы равновесия.

Длина, площадь сечения и момент инерции в процессе нагружения остаются неизменными.

Изгиб стержня при потере устойчивости описывается обычной теорией изгиба балок.

форма равновесия, приобретенная после потери устойчивости прямолинейной формы, смежна с первоначальной формой (перемещения малы).

Благодаря первому предположению, при отсутствии поперечной нагрузки () первоначальная прямолинейная форма может быть равновесной. Эта ситуация описывается приведенными ниже соотношениями:

                 ,              ;

                    –

– дифференциальное уравнение второго порядка. Решение содержит две постоянные интегрирования, для определения которых формулируются два граничных условия относительно перемещения u, после чего задачу можно считать решенной. Соответствующую прямолинейной форме функцию обозначим . 

Благодаря второму предположению при потере устойчивости изгиб стержня можно описывать обычной теорией изгиба балок:

Составляем уравнения равновесия для отклоненного, но смежного с начальным, положения равновесия (нелинейная, но линеаризованная задача):

Величинами первого порядка малости считаем прогибы  и любые их производные по длине стержня.

Уравнения равновесия элемента стержня в отклоненном состоянии:

;

         (1)

      (2)

                        (3)

  - бесконечно малая величина. Следовательно, второе слагаемое в формуле (1) – также бесконечно малая величина высшего порядка малости и уравнение (1) принимает знакомый вид       .

Кроме того, при малых отклонениях изменения граничных условий относительно  продольных перемещений также имеют 2 порядок малости.

Таким образом, на основании уравнений  (1) и (3) можно сделать вывод, что при бифуркационных отклонениях продольная сила получает изменение на величину высшего порядка малости, иными словами, совпадает с продольной силой первоначальной формы равновесия.

Дальнейшее преобразование формулы (2) приводит к виду:

.

В случае призматического стержня (EI=const), нагруженного по торцам (N=const)

.

В случае центрального сжатия:

.